Theorem 4cyclusnfrgr 27156

Description: A graph with a 4-cycle is not a friendhip graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Dec-2017.) (Revised by AV, 2-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
4cyclusnfrgr.v	|- V = (Vtx ` G )
4cyclusnfrgr.e	|- E = (Edg ` G )

Assertion

Ref	Expression
4cyclusnfrgr	|- ( ( G e. USGraph /\ ( A e. V /\ C e. V /\ A =/= C ) /\ ( B e. V /\ D e. V /\ B =/= D ) ) -> ( ( ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E ) /\ ( { C , D } e. E /\ { D , A } e. E ) ) -> G e/ FriendGraph ) )

Proof of Theorem 4cyclusnfrgr

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 794	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. USGraph /\ ( A e. V /\ C e. V /\ A =/= C ) /\ ( B e. V /\ D e. V /\ B =/= D ) ) /\ ( ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E ) /\ ( { C , D } e. E /\ { D , A } e. E ) ) ) -> ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E ) )
2		simprr 796	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. USGraph /\ ( A e. V /\ C e. V /\ A =/= C ) /\ ( B e. V /\ D e. V /\ B =/= D ) ) /\ ( ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E ) /\ ( { C , D } e. E /\ { D , A } e. E ) ) ) -> ( { C , D } e. E /\ { D , A } e. E ) )
3		simpl3 1066	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. USGraph /\ ( A e. V /\ C e. V /\ A =/= C ) /\ ( B e. V /\ D e. V /\ B =/= D ) ) /\ ( ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E ) /\ ( { C , D } e. E /\ { D , A } e. E ) ) ) -> ( B e. V /\ D e. V /\ B =/= D ) )
4		4cycl2vnunb 27154	. . . . . 6 |- ( ( ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E ) /\ ( { C , D } e. E /\ { D , A } e. E ) /\ ( B e. V /\ D e. V /\ B =/= D ) ) -> -. E! x e. V { { A , x } , { x , C } } C_ E )
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( G e. USGraph /\ ( A e. V /\ C e. V /\ A =/= C ) /\ ( B e. V /\ D e. V /\ B =/= D ) ) /\ ( ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E ) /\ ( { C , D } e. E /\ { D , A } e. E ) ) ) -> -. E! x e. V { { A , x } , { x , C } } C_ E )
6		4cyclusnfrgr.v	. . . . . . . . . 10 |- V = (Vtx ` G )
7		4cyclusnfrgr.e	. . . . . . . . . 10 |- E = (Edg ` G )
8	6, 7	frcond1 27130	. . . . . . . . 9 |- ( G e. FriendGraph -> ( ( A e. V /\ C e. V /\ A =/= C ) -> E! x e. V { { A , x } , { x , C } } C_ E ) )
9		pm2.24 121	. . . . . . . . 9 |- ( E! x e. V { { A , x } , { x , C } } C_ E -> ( -. E! x e. V { { A , x } , { x , C } } C_ E -> -. G e. FriendGraph ) )
10	8, 9	syl6com 37	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ C e. V /\ A =/= C ) -> ( G e. FriendGraph -> ( -. E! x e. V { { A , x } , { x , C } } C_ E -> -. G e. FriendGraph ) ) )
11	10	3ad2ant2 1083	. . . . . . 7 |- ( ( G e. USGraph /\ ( A e. V /\ C e. V /\ A =/= C ) /\ ( B e. V /\ D e. V /\ B =/= D ) ) -> ( G e. FriendGraph -> ( -. E! x e. V { { A , x } , { x , C } } C_ E -> -. G e. FriendGraph ) ) )
12	11	com23 86	. . . . . 6 |- ( ( G e. USGraph /\ ( A e. V /\ C e. V /\ A =/= C ) /\ ( B e. V /\ D e. V /\ B =/= D ) ) -> ( -. E! x e. V { { A , x } , { x , C } } C_ E -> ( G e. FriendGraph -> -. G e. FriendGraph ) ) )
13	12	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( G e. USGraph /\ ( A e. V /\ C e. V /\ A =/= C ) /\ ( B e. V /\ D e. V /\ B =/= D ) ) /\ ( ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E ) /\ ( { C , D } e. E /\ { D , A } e. E ) ) ) -> ( -. E! x e. V { { A , x } , { x , C } } C_ E -> ( G e. FriendGraph -> -. G e. FriendGraph ) ) )
14	5, 13	mpd 15	. . . 4 |- ( ( ( G e. USGraph /\ ( A e. V /\ C e. V /\ A =/= C ) /\ ( B e. V /\ D e. V /\ B =/= D ) ) /\ ( ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E ) /\ ( { C , D } e. E /\ { D , A } e. E ) ) ) -> ( G e. FriendGraph -> -. G e. FriendGraph ) )
15	14	pm2.01d 181	. . 3 |- ( ( ( G e. USGraph /\ ( A e. V /\ C e. V /\ A =/= C ) /\ ( B e. V /\ D e. V /\ B =/= D ) ) /\ ( ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E ) /\ ( { C , D } e. E /\ { D , A } e. E ) ) ) -> -. G e. FriendGraph )
16		df-nel 2898	. . 3 |- ( G e/ FriendGraph <-> -. G e. FriendGraph )
17	15, 16	sylibr 224	. 2 |- ( ( ( G e. USGraph /\ ( A e. V /\ C e. V /\ A =/= C ) /\ ( B e. V /\ D e. V /\ B =/= D ) ) /\ ( ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E ) /\ ( { C , D } e. E /\ { D , A } e. E ) ) ) -> G e/ FriendGraph )
18	17	ex 450	1 |- ( ( G e. USGraph /\ ( A e. V /\ C e. V /\ A =/= C ) /\ ( B e. V /\ D e. V /\ B =/= D ) ) -> ( ( ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E ) /\ ( { C , D } e. E /\ { D , A } e. E ) ) -> G e/ FriendGraph ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   e/ wnel 2897   E!wreu 2914   C_ wss 3574   {cpr 4179   ` cfv 5888  Vtxcvtx 25874  Edgcedg 25939   USGraph cusgr 26044   FriendGraph cfrgr 27120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-nul 4789

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-iota 5851  df-fv 5896  df-frgr 27121

This theorem is referenced by:  frgrnbnb  27157  frgrwopreg  27187