Theorem axdc3lem3 9274

Description: Simple substitution lemma for axdc3 9276. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
axdc3lem3.1	|- A e. _V
axdc3lem3.2	|- S = { s | E. n e. om ( s : suc n --> A /\ ( s ` (/) ) = C /\ A. k e. n ( s ` suc k ) e. ( F ` ( s ` k ) ) ) }
axdc3lem3.3	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
axdc3lem3	|- ( B e. S <-> E. m e. om ( B : suc m --> A /\ ( B ` (/) ) = C /\ A. k e. m ( B ` suc k ) e. ( F ` ( B ` k ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, m, n   A, s, n   B, k, m, n   B, s, k   C, m, n   C, s   m, F, n   F, s

Allowed substitution hints:   A( k)   C( k)   S( k, m, n, s)   F( k)

Proof of Theorem axdc3lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axdc3lem3.2	. . 3 |- S = { s | E. n e. om ( s : suc n --> A /\ ( s ` (/) ) = C /\ A. k e. n ( s ` suc k ) e. ( F ` ( s ` k ) ) ) }
2	1	eleq2i 2693	. 2 |- ( B e. S <-> B e. { s | E. n e. om ( s : suc n --> A /\ ( s ` (/) ) = C /\ A. k e. n ( s ` suc k ) e. ( F ` ( s ` k ) ) ) } )
3		axdc3lem3.3	. . 3 |- B e. _V
4		feq1 6026	. . . . 5 |- ( s = B -> ( s : suc n --> A <-> B : suc n --> A ) )
5		fveq1 6190	. . . . . 6 |- ( s = B -> ( s ` (/) ) = ( B ` (/) ) )
6	5	eqeq1d 2624	. . . . 5 |- ( s = B -> ( ( s ` (/) ) = C <-> ( B ` (/) ) = C ) )
7		fveq1 6190	. . . . . . 7 |- ( s = B -> ( s ` suc k ) = ( B ` suc k ) )
8		fveq1 6190	. . . . . . . 8 |- ( s = B -> ( s ` k ) = ( B ` k ) )
9	8	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( s = B -> ( F ` ( s ` k ) ) = ( F ` ( B ` k ) ) )
10	7, 9	eleq12d 2695	. . . . . 6 |- ( s = B -> ( ( s ` suc k ) e. ( F ` ( s ` k ) ) <-> ( B ` suc k ) e. ( F ` ( B ` k ) ) ) )
11	10	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( s = B -> ( A. k e. n ( s ` suc k ) e. ( F ` ( s ` k ) ) <-> A. k e. n ( B ` suc k ) e. ( F ` ( B ` k ) ) ) )
12	4, 6, 11	3anbi123d 1399	. . . 4 |- ( s = B -> ( ( s : suc n --> A /\ ( s ` (/) ) = C /\ A. k e. n ( s ` suc k ) e. ( F ` ( s ` k ) ) ) <-> ( B : suc n --> A /\ ( B ` (/) ) = C /\ A. k e. n ( B ` suc k ) e. ( F ` ( B ` k ) ) ) ) )
13	12	rexbidv 3052	. . 3 |- ( s = B -> ( E. n e. om ( s : suc n --> A /\ ( s ` (/) ) = C /\ A. k e. n ( s ` suc k ) e. ( F ` ( s ` k ) ) ) <-> E. n e. om ( B : suc n --> A /\ ( B ` (/) ) = C /\ A. k e. n ( B ` suc k ) e. ( F ` ( B ` k ) ) ) ) )
14	3, 13	elab 3350	. 2 |- ( B e. { s | E. n e. om ( s : suc n --> A /\ ( s ` (/) ) = C /\ A. k e. n ( s ` suc k ) e. ( F ` ( s ` k ) ) ) } <-> E. n e. om ( B : suc n --> A /\ ( B ` (/) ) = C /\ A. k e. n ( B ` suc k ) e. ( F ` ( B ` k ) ) ) )
15		suceq 5790	. . . . 5 |- ( n = m -> suc n = suc m )
16	15	feq2d 6031	. . . 4 |- ( n = m -> ( B : suc n --> A <-> B : suc m --> A ) )
17		raleq 3138	. . . 4 |- ( n = m -> ( A. k e. n ( B ` suc k ) e. ( F ` ( B ` k ) ) <-> A. k e. m ( B ` suc k ) e. ( F ` ( B ` k ) ) ) )
18	16, 17	3anbi13d 1401	. . 3 |- ( n = m -> ( ( B : suc n --> A /\ ( B ` (/) ) = C /\ A. k e. n ( B ` suc k ) e. ( F ` ( B ` k ) ) ) <-> ( B : suc m --> A /\ ( B ` (/) ) = C /\ A. k e. m ( B ` suc k ) e. ( F ` ( B ` k ) ) ) ) )
19	18	cbvrexv 3172	. 2 |- ( E. n e. om ( B : suc n --> A /\ ( B ` (/) ) = C /\ A. k e. n ( B ` suc k ) e. ( F ` ( B ` k ) ) ) <-> E. m e. om ( B : suc m --> A /\ ( B ` (/) ) = C /\ A. k e. m ( B ` suc k ) e. ( F ` ( B ` k ) ) ) )
20	2, 14, 19	3bitri 286	1 |- ( B e. S <-> E. m e. om ( B : suc m --> A /\ ( B ` (/) ) = C /\ A. k e. m ( B ` suc k ) e. ( F ` ( B ` k ) ) ) )

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   (/)c0 3915   suc csuc 5725   -->wf 5884   ` cfv 5888   omcom 7065

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896

This theorem is referenced by:  axdc3lem4  9275