Theorem axgroth5 9646

Description: The Tarski-Grothendieck axiom using abbreviations. (Contributed by NM, 22-Jun-2009.)

Assertion

Ref	Expression
axgroth5	|- E. y ( x e. y /\ A. z e. y ( ~P z C_ y /\ E. w e. y ~P z C_ w ) /\ A. z e. ~P y ( z ~~ y \/ z e. y ) )

Distinct variable group:   x, y, z, w

Proof of Theorem axgroth5

Dummy variable v is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-groth 9645	. 2 |- E. y ( x e. y /\ A. z e. y ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ E. w e. y A. v ( v C_ z -> v e. w ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( z ~~ y \/ z e. y ) ) )
2		biid 251	. . . 4 |- ( x e. y <-> x e. y )
3		pwss 4175	. . . . . 6 |- ( ~P z C_ y <-> A. w ( w C_ z -> w e. y ) )
4		pwss 4175	. . . . . . 7 |- ( ~P z C_ w <-> A. v ( v C_ z -> v e. w ) )
5	4	rexbii 3041	. . . . . 6 |- ( E. w e. y ~P z C_ w <-> E. w e. y A. v ( v C_ z -> v e. w ) )
6	3, 5	anbi12i 733	. . . . 5 |- ( ( ~P z C_ y /\ E. w e. y ~P z C_ w ) <-> ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ E. w e. y A. v ( v C_ z -> v e. w ) ) )
7	6	ralbii 2980	. . . 4 |- ( A. z e. y ( ~P z C_ y /\ E. w e. y ~P z C_ w ) <-> A. z e. y ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ E. w e. y A. v ( v C_ z -> v e. w ) ) )
8		df-ral 2917	. . . . 5 |- ( A. z e. ~P y ( z ~~ y \/ z e. y ) <-> A. z ( z e. ~P y -> ( z ~~ y \/ z e. y ) ) )
9		selpw 4165	. . . . . . 7 |- ( z e. ~P y <-> z C_ y )
10	9	imbi1i 339	. . . . . 6 |- ( ( z e. ~P y -> ( z ~~ y \/ z e. y ) ) <-> ( z C_ y -> ( z ~~ y \/ z e. y ) ) )
11	10	albii 1747	. . . . 5 |- ( A. z ( z e. ~P y -> ( z ~~ y \/ z e. y ) ) <-> A. z ( z C_ y -> ( z ~~ y \/ z e. y ) ) )
12	8, 11	bitri 264	. . . 4 |- ( A. z e. ~P y ( z ~~ y \/ z e. y ) <-> A. z ( z C_ y -> ( z ~~ y \/ z e. y ) ) )
13	2, 7, 12	3anbi123i 1251	. . 3 |- ( ( x e. y /\ A. z e. y ( ~P z C_ y /\ E. w e. y ~P z C_ w ) /\ A. z e. ~P y ( z ~~ y \/ z e. y ) ) <-> ( x e. y /\ A. z e. y ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ E. w e. y A. v ( v C_ z -> v e. w ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( z ~~ y \/ z e. y ) ) ) )
14	13	exbii 1774	. 2 |- ( E. y ( x e. y /\ A. z e. y ( ~P z C_ y /\ E. w e. y ~P z C_ w ) /\ A. z e. ~P y ( z ~~ y \/ z e. y ) ) <-> E. y ( x e. y /\ A. z e. y ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ E. w e. y A. v ( v C_ z -> v e. w ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( z ~~ y \/ z e. y ) ) ) )
15	1, 14	mpbir 221	1 |- E. y ( x e. y /\ A. z e. y ( ~P z C_ y /\ E. w e. y ~P z C_ w ) /\ A. z e. ~P y ( z ~~ y \/ z e. y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   ~~ cen 7952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-groth 9645

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-v 3202  df-in 3581  df-ss 3588  df-pw 4160

This theorem is referenced by:  grothpw  9648  grothpwex  9649  axgroth6  9650  grothtsk  9657