Theorem axgroth6 9650

Description: The Tarski-Grothendieck axiom using abbreviations. This version is called Tarski's axiom: given a set x, there exists a set y containing x, the subsets of the members of y, the power sets of the members of y, and the subsets of y of cardinality less than that of y. (Contributed by NM, 21-Jun-2009.)

Assertion

Ref	Expression
axgroth6	|- E. y ( x e. y /\ A. z e. y ( ~P z C_ y /\ ~P z e. y ) /\ A. z e. ~P y ( z ~< y -> z e. y ) )

Distinct variable group:   x, y, z

Proof of Theorem axgroth6

Dummy variables w v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axgroth5 9646	. 2 |- E. y ( x e. y /\ A. z e. y ( ~P z C_ y /\ E. w e. y ~P z C_ w ) /\ A. z e. ~P y ( z ~~ y \/ z e. y ) )
2		biid 251	. . . 4 |- ( x e. y <-> x e. y )
3		pweq 4161	. . . . . . . . 9 |- ( z = v -> ~P z = ~P v )
4	3	sseq1d 3632	. . . . . . . 8 |- ( z = v -> ( ~P z C_ y <-> ~P v C_ y ) )
5	4	cbvralv 3171	. . . . . . 7 |- ( A. z e. y ~P z C_ y <-> A. v e. y ~P v C_ y )
6		ssid 3624	. . . . . . . . . 10 |- ~P z C_ ~P z
7		sseq2 3627	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = ~P z -> ( ~P z C_ w <-> ~P z C_ ~P z ) )
8	7	rspcev 3309	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ~P z e. y /\ ~P z C_ ~P z ) -> E. w e. y ~P z C_ w )
9	6, 8	mpan2 707	. . . . . . . . 9 |- ( ~P z e. y -> E. w e. y ~P z C_ w )
10		pweq 4161	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = w -> ~P v = ~P w )
11	10	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = w -> ( ~P v C_ y <-> ~P w C_ y ) )
12	11	rspccv 3306	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. v e. y ~P v C_ y -> ( w e. y -> ~P w C_ y ) )
13		pwss 4175	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ~P w C_ y <-> A. v ( v C_ w -> v e. y ) )
14		vpwex 4849	. . . . . . . . . . . . 13 |- ~P z e. _V
15		sseq1 3626	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v = ~P z -> ( v C_ w <-> ~P z C_ w ) )
16		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v = ~P z -> ( v e. y <-> ~P z e. y ) )
17	15, 16	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = ~P z -> ( ( v C_ w -> v e. y ) <-> ( ~P z C_ w -> ~P z e. y ) ) )
18	14, 17	spcv 3299	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. v ( v C_ w -> v e. y ) -> ( ~P z C_ w -> ~P z e. y ) )
19	13, 18	sylbi 207	. . . . . . . . . . 11 |- ( ~P w C_ y -> ( ~P z C_ w -> ~P z e. y ) )
20	12, 19	syl6 35	. . . . . . . . . 10 |- ( A. v e. y ~P v C_ y -> ( w e. y -> ( ~P z C_ w -> ~P z e. y ) ) )
21	20	rexlimdv 3030	. . . . . . . . 9 |- ( A. v e. y ~P v C_ y -> ( E. w e. y ~P z C_ w -> ~P z e. y ) )
22	9, 21	impbid2 216	. . . . . . . 8 |- ( A. v e. y ~P v C_ y -> ( ~P z e. y <-> E. w e. y ~P z C_ w ) )
23	22	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( A. v e. y ~P v C_ y -> ( A. z e. y ~P z e. y <-> A. z e. y E. w e. y ~P z C_ w ) )
24	5, 23	sylbi 207	. . . . . 6 |- ( A. z e. y ~P z C_ y -> ( A. z e. y ~P z e. y <-> A. z e. y E. w e. y ~P z C_ w ) )
25	24	pm5.32i 669	. . . . 5 |- ( ( A. z e. y ~P z C_ y /\ A. z e. y ~P z e. y ) <-> ( A. z e. y ~P z C_ y /\ A. z e. y E. w e. y ~P z C_ w ) )
26		r19.26 3064	. . . . 5 |- ( A. z e. y ( ~P z C_ y /\ ~P z e. y ) <-> ( A. z e. y ~P z C_ y /\ A. z e. y ~P z e. y ) )
27		r19.26 3064	. . . . 5 |- ( A. z e. y ( ~P z C_ y /\ E. w e. y ~P z C_ w ) <-> ( A. z e. y ~P z C_ y /\ A. z e. y E. w e. y ~P z C_ w ) )
28	25, 26, 27	3bitr4i 292	. . . 4 |- ( A. z e. y ( ~P z C_ y /\ ~P z e. y ) <-> A. z e. y ( ~P z C_ y /\ E. w e. y ~P z C_ w ) )
29		selpw 4165	. . . . . 6 |- ( z e. ~P y <-> z C_ y )
30		impexp 462	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z C_ y /\ z ~<_ y ) -> ( -. z ~~ y -> z e. y ) ) <-> ( z C_ y -> ( z ~<_ y -> ( -. z ~~ y -> z e. y ) ) ) )
31		vex 3203	. . . . . . . . . . . 12 |- y e. _V
32		ssdomg 8001	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. _V -> ( z C_ y -> z ~<_ y ) )
33	31, 32	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( z C_ y -> z ~<_ y )
34	33	pm4.71i 664	. . . . . . . . . 10 |- ( z C_ y <-> ( z C_ y /\ z ~<_ y ) )
35	34	imbi1i 339	. . . . . . . . 9 |- ( ( z C_ y -> ( -. z ~~ y -> z e. y ) ) <-> ( ( z C_ y /\ z ~<_ y ) -> ( -. z ~~ y -> z e. y ) ) )
36		brsdom 7978	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z ~< y <-> ( z ~<_ y /\ -. z ~~ y ) )
37	36	imbi1i 339	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z ~< y -> z e. y ) <-> ( ( z ~<_ y /\ -. z ~~ y ) -> z e. y ) )
38		impexp 462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z ~<_ y /\ -. z ~~ y ) -> z e. y ) <-> ( z ~<_ y -> ( -. z ~~ y -> z e. y ) ) )
39	37, 38	bitri 264	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z ~< y -> z e. y ) <-> ( z ~<_ y -> ( -. z ~~ y -> z e. y ) ) )
40	39	imbi2i 326	. . . . . . . . 9 |- ( ( z C_ y -> ( z ~< y -> z e. y ) ) <-> ( z C_ y -> ( z ~<_ y -> ( -. z ~~ y -> z e. y ) ) ) )
41	30, 35, 40	3bitr4ri 293	. . . . . . . 8 |- ( ( z C_ y -> ( z ~< y -> z e. y ) ) <-> ( z C_ y -> ( -. z ~~ y -> z e. y ) ) )
42	41	pm5.74ri 261	. . . . . . 7 |- ( z C_ y -> ( ( z ~< y -> z e. y ) <-> ( -. z ~~ y -> z e. y ) ) )
43		pm4.64 387	. . . . . . 7 |- ( ( -. z ~~ y -> z e. y ) <-> ( z ~~ y \/ z e. y ) )
44	42, 43	syl6bb 276	. . . . . 6 |- ( z C_ y -> ( ( z ~< y -> z e. y ) <-> ( z ~~ y \/ z e. y ) ) )
45	29, 44	sylbi 207	. . . . 5 |- ( z e. ~P y -> ( ( z ~< y -> z e. y ) <-> ( z ~~ y \/ z e. y ) ) )
46	45	ralbiia 2979	. . . 4 |- ( A. z e. ~P y ( z ~< y -> z e. y ) <-> A. z e. ~P y ( z ~~ y \/ z e. y ) )
47	2, 28, 46	3anbi123i 1251	. . 3 |- ( ( x e. y /\ A. z e. y ( ~P z C_ y /\ ~P z e. y ) /\ A. z e. ~P y ( z ~< y -> z e. y ) ) <-> ( x e. y /\ A. z e. y ( ~P z C_ y /\ E. w e. y ~P z C_ w ) /\ A. z e. ~P y ( z ~~ y \/ z e. y ) ) )
48	47	exbii 1774	. 2 |- ( E. y ( x e. y /\ A. z e. y ( ~P z C_ y /\ ~P z e. y ) /\ A. z e. ~P y ( z ~< y -> z e. y ) ) <-> E. y ( x e. y /\ A. z e. y ( ~P z C_ y /\ E. w e. y ~P z C_ w ) /\ A. z e. ~P y ( z ~~ y \/ z e. y ) ) )
49	1, 48	mpbir 221	1 |- E. y ( x e. y /\ A. z e. y ( ~P z C_ y /\ ~P z e. y ) /\ A. z e. ~P y ( z ~< y -> z e. y ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   ~~ cen 7952   ~<_ cdom 7953   ~< csdm 7954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-groth 9645

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-dom 7957  df-sdom 7958

This theorem is referenced by:  grothomex  9651  grothac  9652