Theorem axpowprim 31581

Description: ax-pow 4843 without distinct variable conditions or defined symbols. (Contributed by Scott Fenton, 13-Oct-2010.)

Assertion

Ref	Expression
axpowprim	|- ( A. x -. A. y ( A. x ( -. A. z -. x e. y -> A. y x e. z ) -> y e. x ) -> x = y )

Proof of Theorem axpowprim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axpownd 9423	. . 3 |- ( -. x = y -> E. x A. y ( A. x ( E. z x e. y -> A. y x e. z ) -> y e. x ) )
2		df-ex 1705	. . . . . . . . 9 |- ( E. z x e. y <-> -. A. z -. x e. y )
3	2	imbi1i 339	. . . . . . . 8 |- ( ( E. z x e. y -> A. y x e. z ) <-> ( -. A. z -. x e. y -> A. y x e. z ) )
4	3	albii 1747	. . . . . . 7 |- ( A. x ( E. z x e. y -> A. y x e. z ) <-> A. x ( -. A. z -. x e. y -> A. y x e. z ) )
5	4	imbi1i 339	. . . . . 6 |- ( ( A. x ( E. z x e. y -> A. y x e. z ) -> y e. x ) <-> ( A. x ( -. A. z -. x e. y -> A. y x e. z ) -> y e. x ) )
6	5	albii 1747	. . . . 5 |- ( A. y ( A. x ( E. z x e. y -> A. y x e. z ) -> y e. x ) <-> A. y ( A. x ( -. A. z -. x e. y -> A. y x e. z ) -> y e. x ) )
7	6	exbii 1774	. . . 4 |- ( E. x A. y ( A. x ( E. z x e. y -> A. y x e. z ) -> y e. x ) <-> E. x A. y ( A. x ( -. A. z -. x e. y -> A. y x e. z ) -> y e. x ) )
8		df-ex 1705	. . . 4 |- ( E. x A. y ( A. x ( -. A. z -. x e. y -> A. y x e. z ) -> y e. x ) <-> -. A. x -. A. y ( A. x ( -. A. z -. x e. y -> A. y x e. z ) -> y e. x ) )
9	7, 8	bitri 264	. . 3 |- ( E. x A. y ( A. x ( E. z x e. y -> A. y x e. z ) -> y e. x ) <-> -. A. x -. A. y ( A. x ( -. A. z -. x e. y -> A. y x e. z ) -> y e. x ) )
10	1, 9	sylib 208	. 2 |- ( -. x = y -> -. A. x -. A. y ( A. x ( -. A. z -. x e. y -> A. y x e. z ) -> y e. x ) )
11	10	con4i 113	1 |- ( A. x -. A. y ( A. x ( -. A. z -. x e. y -> A. y x e. z ) -> y e. x ) -> x = y )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   A.wal 1481   E.wex 1704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-reg 8497

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180

This theorem is referenced by: (None)