Theorem axpownd 9423

Description: A version of the Axiom of Power Sets with no distinct variable conditions. (Contributed by NM, 4-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
axpownd	|- ( -. x = y -> E. x A. y ( A. x ( E. z x e. y -> A. y x e. z ) -> y e. x ) )

Proof of Theorem axpownd

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axpowndlem4 9422	. 2 |- ( -. A. y y = x -> ( -. A. y y = z -> ( -. x = y -> E. x A. y ( A. x ( E. z x e. y -> A. y x e. z ) -> y e. x ) ) ) )
2		axpowndlem1 9419	. . 3 |- ( A. x x = y -> ( -. x = y -> E. x A. y ( A. x ( E. z x e. y -> A. y x e. z ) -> y e. x ) ) )
3	2	aecoms 2312	. 2 |- ( A. y y = x -> ( -. x = y -> E. x A. y ( A. x ( E. z x e. y -> A. y x e. z ) -> y e. x ) ) )
4	2	a1d 25	. . 3 |- ( A. x x = y -> ( A. y y = z -> ( -. x = y -> E. x A. y ( A. x ( E. z x e. y -> A. y x e. z ) -> y e. x ) ) ) )
5		nfnae 2318	. . . . . . . 8 |- F/ y -. A. x x = y
6		nfae 2316	. . . . . . . 8 |- F/ y A. y y = z
7	5, 6	nfan 1828	. . . . . . 7 |- F/ y ( -. A. x x = y /\ A. y y = z )
8		el 4847	. . . . . . . . . . . . 13 |- E. w x e. w
9		nfcvf2 2789	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. A. x x = y -> F/_ y x )
10		nfcvd 2765	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. A. x x = y -> F/_ y w )
11	9, 10	nfeld 2773	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. A. x x = y -> F/ y x e. w )
12		elequ2 2004	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = y -> ( x e. w <-> x e. y ) )
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. A. x x = y -> ( w = y -> ( x e. w <-> x e. y ) ) )
14	5, 11, 13	cbvexd 2278	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. A. x x = y -> ( E. w x e. w <-> E. y x e. y ) )
15	8, 14	mpbii 223	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. A. x x = y -> E. y x e. y )
16		19.8a 2052	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. y x e. y -> E. x E. y x e. y )
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. A. x x = y -> E. x E. y x e. y )
18		df-ex 1705	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. x E. y x e. y <-> -. A. x -. E. y x e. y )
19	17, 18	sylib 208	. . . . . . . . . 10 |- ( -. A. x x = y -> -. A. x -. E. y x e. y )
20	19	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. A. x x = y /\ A. y y = z ) -> -. A. x -. E. y x e. y )
21		biidd 252	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. y y = z -> ( -. x e. y <-> -. x e. y ) )
22	21	dral1 2325	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. y y = z -> ( A. y -. x e. y <-> A. z -. x e. y ) )
23		alnex 1706	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. y -. x e. y <-> -. E. y x e. y )
24		alnex 1706	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. z -. x e. y <-> -. E. z x e. y )
25	22, 23, 24	3bitr3g 302	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. y y = z -> ( -. E. y x e. y <-> -. E. z x e. y ) )
26		nd2 9410	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. y y = z -> -. A. y x e. z )
27		mtt 354	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. A. y x e. z -> ( -. E. z x e. y <-> ( E. z x e. y -> A. y x e. z ) ) )
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. y y = z -> ( -. E. z x e. y <-> ( E. z x e. y -> A. y x e. z ) ) )
29	25, 28	bitrd 268	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. y y = z -> ( -. E. y x e. y <-> ( E. z x e. y -> A. y x e. z ) ) )
30	29	dral2 2324	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y y = z -> ( A. x -. E. y x e. y <-> A. x ( E. z x e. y -> A. y x e. z ) ) )
31	30	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. A. x x = y /\ A. y y = z ) -> ( A. x -. E. y x e. y <-> A. x ( E. z x e. y -> A. y x e. z ) ) )
32	20, 31	mtbid 314	. . . . . . . 8 |- ( ( -. A. x x = y /\ A. y y = z ) -> -. A. x ( E. z x e. y -> A. y x e. z ) )
33	32	pm2.21d 118	. . . . . . 7 |- ( ( -. A. x x = y /\ A. y y = z ) -> ( A. x ( E. z x e. y -> A. y x e. z ) -> y e. x ) )
34	7, 33	alrimi 2082	. . . . . 6 |- ( ( -. A. x x = y /\ A. y y = z ) -> A. y ( A. x ( E. z x e. y -> A. y x e. z ) -> y e. x ) )
35		19.8a 2052	. . . . . 6 |- ( A. y ( A. x ( E. z x e. y -> A. y x e. z ) -> y e. x ) -> E. x A. y ( A. x ( E. z x e. y -> A. y x e. z ) -> y e. x ) )
36	34, 35	syl 17	. . . . 5 |- ( ( -. A. x x = y /\ A. y y = z ) -> E. x A. y ( A. x ( E. z x e. y -> A. y x e. z ) -> y e. x ) )
37	36	a1d 25	. . . 4 |- ( ( -. A. x x = y /\ A. y y = z ) -> ( -. x = y -> E. x A. y ( A. x ( E. z x e. y -> A. y x e. z ) -> y e. x ) ) )
38	37	ex 450	. . 3 |- ( -. A. x x = y -> ( A. y y = z -> ( -. x = y -> E. x A. y ( A. x ( E. z x e. y -> A. y x e. z ) -> y e. x ) ) ) )
39	4, 38	pm2.61i 176	. 2 |- ( A. y y = z -> ( -. x = y -> E. x A. y ( A. x ( E. z x e. y -> A. y x e. z ) -> y e. x ) ) )
40	1, 3, 39	pm2.61ii 177	1 |- ( -. x = y -> E. x A. y ( A. x ( E. z x e. y -> A. y x e. z ) -> y e. x ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   E.wex 1704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-reg 8497

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180

This theorem is referenced by:  zfcndpow  9438  axpowprim  31581