Theorem bj-2uplex 33010

Description: A couple is a set if and only if its coordinates are sets. (Contributed by BJ, 6-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
bj-2uplex	|- ((| A, B|) e. _V <-> ( A e. _V /\ B e. _V ) )

Proof of Theorem bj-2uplex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-pr21val 33001	. . . 4 |- pr1 (| A, B|) = A
2		bj-pr1ex 32994	. . . 4 |- ((| A, B|) e. _V -> pr1 (| A, B|) e. _V )
3	1, 2	syl5eqelr 2706	. . 3 |- ((| A, B|) e. _V -> A e. _V )
4		bj-pr22val 33007	. . . 4 |- pr2 (| A, B|) = B
5		bj-pr2ex 33008	. . . 4 |- ((| A, B|) e. _V -> pr2 (| A, B|) e. _V )
6	4, 5	syl5eqelr 2706	. . 3 |- ((| A, B|) e. _V -> B e. _V )
7	3, 6	jca 554	. 2 |- ((| A, B|) e. _V -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
8		df-bj-2upl 32999	. . 3 |- (| A, B|) = ((| A|) u. ( { 1o } X. tag B ) )
9		bj-1uplex 32996	. . . . 5 |- ((| A|) e. _V <-> A e. _V )
10	9	biimpri 218	. . . 4 |- ( A e. _V -> (| A|) e. _V )
11		snex 4908	. . . . 5 |- { 1o } e. _V
12		bj-xtagex 32977	. . . . 5 |- ( { 1o } e. _V -> ( B e. _V -> ( { 1o } X. tag B ) e. _V ) )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . 4 |- ( B e. _V -> ( { 1o } X. tag B ) e. _V )
14		unexg 6959	. . . 4 |- ( ((| A|) e. _V /\ ( { 1o } X. tag B ) e. _V ) -> ((| A|) u. ( { 1o } X. tag B ) ) e. _V )
15	10, 13, 14	syl2an 494	. . 3 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ((| A|) u. ( { 1o } X. tag B ) ) e. _V )
16	8, 15	syl5eqel 2705	. 2 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> (| A, B|) e. _V )
17	7, 16	impbii 199	1 |- ((| A, B|) e. _V <-> ( A e. _V /\ B e. _V ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   u. cun 3572   {csn 4177   X. cxp 5112   1oc1o 7553  tag bj-ctag 32962  (|bj-c1upl 32985  pr₁ bj-cpr1 32988  (|bj-c2uple 32998  pr₂ bj-cpr2 33002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-suc 5729  df-1o 7560  df-bj-sngl 32954  df-bj-tag 32963  df-bj-proj 32979  df-bj-1upl 32986  df-bj-pr1 32989  df-bj-2upl 32999  df-bj-pr2 33003

This theorem is referenced by: (None)