Theorem bj-nuliota 33019

Description: Definition of the empty set using the definite description binder. See also bj-nuliotaALT 33020. (Contributed by BJ, 30-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-nuliota	|- (/) = ( iota x A. y -. y e. x )

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem bj-nuliota

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4790	. . . 4 |- (/) e. _V
2	1	eueq1 3379	. . . . 5 |- E! x x = (/)
3		eq0 3929	. . . . . 6 |- ( x = (/) <-> A. y -. y e. x )
4	3	eubii 2492	. . . . 5 |- ( E! x x = (/) <-> E! x A. y -. y e. x )
5	2, 4	mpbi 220	. . . 4 |- E! x A. y -. y e. x
6		eleq2 2690	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> ( y e. x <-> y e. (/) ) )
7	6	notbid 308	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( -. y e. x <-> -. y e. (/) ) )
8	7	albidv 1849	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( A. y -. y e. x <-> A. y -. y e. (/) ) )
9	8	iota2 5877	. . . 4 |- ( ( (/) e. _V /\ E! x A. y -. y e. x ) -> ( A. y -. y e. (/) <-> ( iota x A. y -. y e. x ) = (/) ) )
10	1, 5, 9	mp2an 708	. . 3 |- ( A. y -. y e. (/) <-> ( iota x A. y -. y e. x ) = (/) )
11		noel 3919	. . 3 |- -. y e. (/)
12	10, 11	mpgbi 1725	. 2 |- ( iota x A. y -. y e. x ) = (/)
13	12	eqcomi 2631	1 |- (/) = ( iota x A. y -. y e. x )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 196   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   E!weu 2470   _Vcvv 3200   (/)c0 3915   iotacio 5849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-nul 4789

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-nul 3916  df-sn 4178  df-pr 4180  df-uni 4437  df-iota 5851

This theorem is referenced by: (None)