Theorem bnj1388 31101

Description: Technical lemma for bnj60 31130. This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
bnj1388.1	|- B = { d | ( d C_ A /\ A. x e. d pred ( x , A , R ) C_ d ) }
bnj1388.2	|- Y = <. x , ( f |` pred ( x , A , R ) ) >.
bnj1388.3	|- C = { f | E. d e. B ( f Fn d /\ A. x e. d ( f ` x ) = ( G ` Y ) ) }
bnj1388.4	|- ( ta <-> ( f e. C /\ dom f = ( { x } u. trCl ( x , A , R ) ) ) )
bnj1388.5	|- D = { x e. A | -. E. f ta }
bnj1388.6	|- ( ps <-> ( R FrSe A /\ D =/= (/) ) )
bnj1388.7	|- ( ch <-> ( ps /\ x e. D /\ A. y e. D -. y R x ) )
bnj1388.8	|- ( ta' <-> [. y / x ]. ta )

Assertion

Ref	Expression
bnj1388	|- ( ch -> A. y e. pred ( x , A , R ) E. f ta' )

Distinct variable groups:   x, A, y   B, f   y, D   x, R, y   f, d, x   y, f   ps, y   ta, y

Allowed substitution hints:   ps( x, f, d)   ch( x, y, f, d)   ta( x, f, d)   A( f, d)   B( x, y, d)   C( x, y, f, d)   D( x, f, d)   R( f, d)   G( x, y, f, d)   Y( x, y, f, d)   ta'( x, y, f, d)

Proof of Theorem bnj1388

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bnj1388.7	. . 3 |- ( ch <-> ( ps /\ x e. D /\ A. y e. D -. y R x ) )
2		nfv 1843	. . . 4 |- F/ y ps
3		nfv 1843	. . . 4 |- F/ y x e. D
4		nfra1 2941	. . . 4 |- F/ y A. y e. D -. y R x
5	2, 3, 4	nf3an 1831	. . 3 |- F/ y ( ps /\ x e. D /\ A. y e. D -. y R x )
6	1, 5	nfxfr 1779	. 2 |- F/ y ch
7		bnj1152 31066	. . . . . 6 |- ( y e. pred ( x , A , R ) <-> ( y e. A /\ y R x ) )
8	7	simplbi 476	. . . . 5 |- ( y e. pred ( x , A , R ) -> y e. A )
9	8	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ch /\ y e. pred ( x , A , R ) ) -> y e. A )
10	7	biimpi 206	. . . . . . . . 9 |- ( y e. pred ( x , A , R ) -> ( y e. A /\ y R x ) )
11	10	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ch /\ y e. pred ( x , A , R ) ) -> ( y e. A /\ y R x ) )
12	11	simprd 479	. . . . . . 7 |- ( ( ch /\ y e. pred ( x , A , R ) ) -> y R x )
13	1	simp3bi 1078	. . . . . . . 8 |- ( ch -> A. y e. D -. y R x )
14	13	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ch /\ y e. pred ( x , A , R ) ) -> A. y e. D -. y R x )
15		df-ral 2917	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. D -. y R x <-> A. y ( y e. D -> -. y R x ) )
16		con2b 349	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. D -> -. y R x ) <-> ( y R x -> -. y e. D ) )
17	16	albii 1747	. . . . . . . . 9 |- ( A. y ( y e. D -> -. y R x ) <-> A. y ( y R x -> -. y e. D ) )
18	15, 17	bitri 264	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. D -. y R x <-> A. y ( y R x -> -. y e. D ) )
19		sp 2053	. . . . . . . . 9 |- ( A. y ( y R x -> -. y e. D ) -> ( y R x -> -. y e. D ) )
20	19	impcom 446	. . . . . . . 8 |- ( ( y R x /\ A. y ( y R x -> -. y e. D ) ) -> -. y e. D )
21	18, 20	sylan2b 492	. . . . . . 7 |- ( ( y R x /\ A. y e. D -. y R x ) -> -. y e. D )
22	12, 14, 21	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ch /\ y e. pred ( x , A , R ) ) -> -. y e. D )
23		bnj1388.5	. . . . . . . 8 |- D = { x e. A | -. E. f ta }
24	23	eleq2i 2693	. . . . . . 7 |- ( y e. D <-> y e. { x e. A | -. E. f ta } )
25		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ x y
26		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ x A
27		bnj1388.8	. . . . . . . . . . 11 |- ( ta' <-> [. y / x ]. ta )
28		nfsbc1v 3455	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x [. y / x ]. ta
29	27, 28	nfxfr 1779	. . . . . . . . . 10 |- F/ x ta'
30	29	nfex 2154	. . . . . . . . 9 |- F/ x E. f ta'
31	30	nfn 1784	. . . . . . . 8 |- F/ x -. E. f ta'
32		sbceq1a 3446	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( ta <-> [. y / x ]. ta ) )
33	32, 27	syl6bbr 278	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( ta <-> ta' ) )
34	33	exbidv 1850	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( E. f ta <-> E. f ta' ) )
35	34	notbid 308	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( -. E. f ta <-> -. E. f ta' ) )
36	25, 26, 31, 35	elrabf 3360	. . . . . . 7 |- ( y e. { x e. A | -. E. f ta } <-> ( y e. A /\ -. E. f ta' ) )
37	24, 36	bitri 264	. . . . . 6 |- ( y e. D <-> ( y e. A /\ -. E. f ta' ) )
38	22, 37	sylnib 318	. . . . 5 |- ( ( ch /\ y e. pred ( x , A , R ) ) -> -. ( y e. A /\ -. E. f ta' ) )
39		iman 440	. . . . 5 |- ( ( y e. A -> E. f ta' ) <-> -. ( y e. A /\ -. E. f ta' ) )
40	38, 39	sylibr 224	. . . 4 |- ( ( ch /\ y e. pred ( x , A , R ) ) -> ( y e. A -> E. f ta' ) )
41	9, 40	mpd 15	. . 3 |- ( ( ch /\ y e. pred ( x , A , R ) ) -> E. f ta' )
42	41	ex 450	. 2 |- ( ch -> ( y e. pred ( x , A , R ) -> E. f ta' ) )
43	6, 42	ralrimi 2957	1 |- ( ch -> A. y e. pred ( x , A , R ) E. f ta' )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   [.wsbc 3435   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   <.cop 4183   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   |` cres 5116   Fn wfn 5883   ` cfv 5888   predc-bnj14 30754   FrSe w-bnj15 30758   trClc-bnj18 30760

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-bnj14 30755

This theorem is referenced by:  bnj1398  31102  bnj1489  31124