Theorem bnj1398 31102

Description: Technical lemma for bnj60 31130. This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
bnj1398.1	|- B = { d | ( d C_ A /\ A. x e. d pred ( x , A , R ) C_ d ) }
bnj1398.2	|- Y = <. x , ( f |` pred ( x , A , R ) ) >.
bnj1398.3	|- C = { f | E. d e. B ( f Fn d /\ A. x e. d ( f ` x ) = ( G ` Y ) ) }
bnj1398.4	|- ( ta <-> ( f e. C /\ dom f = ( { x } u. trCl ( x , A , R ) ) ) )
bnj1398.5	|- D = { x e. A | -. E. f ta }
bnj1398.6	|- ( ps <-> ( R FrSe A /\ D =/= (/) ) )
bnj1398.7	|- ( ch <-> ( ps /\ x e. D /\ A. y e. D -. y R x ) )
bnj1398.8	|- ( ta' <-> [. y / x ]. ta )
bnj1398.9	|- H = { f | E. y e. pred ( x , A , R ) ta' }
bnj1398.10	|- P = U. H
bnj1398.11	|- ( th <-> ( ch /\ z e. U_ y e. pred ( x , A , R ) ( { y } u. trCl ( y , A , R ) ) ) )
bnj1398.12	|- ( et <-> ( th /\ y e. pred ( x , A , R ) /\ z e. ( { y } u. trCl ( y , A , R ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
bnj1398	|- ( ch -> U_ y e. pred ( x , A , R ) ( { y } u. trCl ( y , A , R ) ) = dom P )

Distinct variable groups:   A, f, x, y, z   B, f   y, C   y, D   z, H   z, P   R, f, x, y, z   ch, z   f, d, x   ps, y   ta, y

Allowed substitution hints:   ps( x, z, f, d)   ch( x, y, f, d)   th( x, y, z, f, d)   ta( x, z, f, d)   et( x, y, z, f, d)   A( d)   B( x, y, z, d)   C( x, z, f, d)   D( x, z, f, d)   P( x, y, f, d)   R( d)   G( x, y, z, f, d)   H( x, y, f, d)   Y( x, y, z, f, d)   ta'( x, y, z, f, d)

Proof of Theorem bnj1398

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bnj1398.11	. . . . 5 |- ( th <-> ( ch /\ z e. U_ y e. pred ( x , A , R ) ( { y } u. trCl ( y , A , R ) ) ) )
2		df-iun 4522	. . . . . . . . . 10 |- U_ y e. pred ( x , A , R ) ( { y } u. trCl ( y , A , R ) ) = { z | E. y e. pred ( x , A , R ) z e. ( { y } u. trCl ( y , A , R ) ) }
3	2	bnj1436 30910	. . . . . . . . 9 |- ( z e. U_ y e. pred ( x , A , R ) ( { y } u. trCl ( y , A , R ) ) -> E. y e. pred ( x , A , R ) z e. ( { y } u. trCl ( y , A , R ) ) )
4	1, 3	simplbiim 659	. . . . . . . 8 |- ( th -> E. y e. pred ( x , A , R ) z e. ( { y } u. trCl ( y , A , R ) ) )
5		bnj1398.12	. . . . . . . 8 |- ( et <-> ( th /\ y e. pred ( x , A , R ) /\ z e. ( { y } u. trCl ( y , A , R ) ) ) )
6		bnj1398.7	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ch <-> ( ps /\ x e. D /\ A. y e. D -. y R x ) )
7		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ y ps
8		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ y x e. D
9		nfra1 2941	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ y A. y e. D -. y R x
10	7, 8, 9	nf3an 1831	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y ( ps /\ x e. D /\ A. y e. D -. y R x )
11	6, 10	nfxfr 1779	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y ch
12		nfiu1 4550	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ y U_ y e. pred ( x , A , R ) ( { y } u. trCl ( y , A , R ) )
13	12	nfcri 2758	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y z e. U_ y e. pred ( x , A , R ) ( { y } u. trCl ( y , A , R ) )
14	11, 13	nfan 1828	. . . . . . . . . 10 |- F/ y ( ch /\ z e. U_ y e. pred ( x , A , R ) ( { y } u. trCl ( y , A , R ) ) )
15	1, 14	nfxfr 1779	. . . . . . . . 9 |- F/ y th
16	15	nf5ri 2065	. . . . . . . 8 |- ( th -> A. y th )
17	4, 5, 16	bnj1521 30921	. . . . . . 7 |- ( th -> E. y et )
18		bnj1398.6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ps <-> ( R FrSe A /\ D =/= (/) ) )
19		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/ f R FrSe A
20		bnj1398.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- D = { x e. A | -. E. f ta }
21		nfe1 2027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- F/ f E. f ta
22	21	nfn 1784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- F/ f -. E. f ta
23		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- F/_ f A
24	22, 23	nfrab 3123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- F/_ f { x e. A | -. E. f ta }
25	20, 24	nfcxfr 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/_ f D
26		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/_ f (/)
27	25, 26	nfne 2894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/ f D =/= (/)
28	19, 27	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ f ( R FrSe A /\ D =/= (/) )
29	18, 28	nfxfr 1779	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ f ps
30	25	nfcri 2758	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ f x e. D
31		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ f -. y R x
32	25, 31	nfral 2945	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ f A. y e. D -. y R x
33	29, 30, 32	nf3an 1831	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ f ( ps /\ x e. D /\ A. y e. D -. y R x )
34	6, 33	nfxfr 1779	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ f ch
35		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ f z e. U_ y e. pred ( x , A , R ) ( { y } u. trCl ( y , A , R ) )
36	34, 35	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ f ( ch /\ z e. U_ y e. pred ( x , A , R ) ( { y } u. trCl ( y , A , R ) ) )
37	1, 36	nfxfr 1779	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ f th
38		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ f y e. pred ( x , A , R )
39		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ f z e. ( { y } u. trCl ( y , A , R ) )
40	37, 38, 39	nf3an 1831	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ f ( th /\ y e. pred ( x , A , R ) /\ z e. ( { y } u. trCl ( y , A , R ) ) )
41	5, 40	nfxfr 1779	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ f et
42	41	nf5ri 2065	. . . . . . . . . . 11 |- ( et -> A. f et )
43	1	simplbi 476	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( th -> ch )
44	5, 43	bnj835 30829	. . . . . . . . . . . 12 |- ( et -> ch )
45	5	simp2bi 1077	. . . . . . . . . . . 12 |- ( et -> y e. pred ( x , A , R ) )
46		bnj1398.1	. . . . . . . . . . . . . 14 |- B = { d | ( d C_ A /\ A. x e. d pred ( x , A , R ) C_ d ) }
47		bnj1398.2	. . . . . . . . . . . . . 14 |- Y = <. x , ( f |` pred ( x , A , R ) ) >.
48		bnj1398.3	. . . . . . . . . . . . . 14 |- C = { f | E. d e. B ( f Fn d /\ A. x e. d ( f ` x ) = ( G ` Y ) ) }
49		bnj1398.4	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ta <-> ( f e. C /\ dom f = ( { x } u. trCl ( x , A , R ) ) ) )
50		bnj1398.8	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ta' <-> [. y / x ]. ta )
51	46, 47, 48, 49, 20, 18, 6, 50	bnj1388 31101	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ch -> A. y e. pred ( x , A , R ) E. f ta' )
52		rsp 2929	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. y e. pred ( x , A , R ) E. f ta' -> ( y e. pred ( x , A , R ) -> E. f ta' ) )
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ch -> ( y e. pred ( x , A , R ) -> E. f ta' ) )
54	44, 45, 53	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 |- ( et -> E. f ta' )
55	42, 54	bnj596 30816	. . . . . . . . . 10 |- ( et -> E. f ( et /\ ta' ) )
56	46, 47, 48, 49, 50	bnj1373 31098	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ta' <-> ( f e. C /\ dom f = ( { y } u. trCl ( y , A , R ) ) ) )
57	56	simplbi 476	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ta' -> f e. C )
58	57	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( et /\ ta' ) -> f e. C )
59	56	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ta' -> dom f = ( { y } u. trCl ( y , A , R ) ) )
60		rspe 3003	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. pred ( x , A , R ) /\ dom f = ( { y } u. trCl ( y , A , R ) ) ) -> E. y e. pred ( x , A , R ) dom f = ( { y } u. trCl ( y , A , R ) ) )
61	45, 59, 60	syl2an 494	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( et /\ ta' ) -> E. y e. pred ( x , A , R ) dom f = ( { y } u. trCl ( y , A , R ) ) )
62		bnj1398.9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- H = { f | E. y e. pred ( x , A , R ) ta' }
63	62	abeq2i 2735	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f e. H <-> E. y e. pred ( x , A , R ) ta' )
64	56	rexbii 3041	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. y e. pred ( x , A , R ) ta' <-> E. y e. pred ( x , A , R ) ( f e. C /\ dom f = ( { y } u. trCl ( y , A , R ) ) ) )
65		r19.42v 3092	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. y e. pred ( x , A , R ) ( f e. C /\ dom f = ( { y } u. trCl ( y , A , R ) ) ) <-> ( f e. C /\ E. y e. pred ( x , A , R ) dom f = ( { y } u. trCl ( y , A , R ) ) ) )
66	63, 64, 65	3bitri 286	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f e. H <-> ( f e. C /\ E. y e. pred ( x , A , R ) dom f = ( { y } u. trCl ( y , A , R ) ) ) )
67	58, 61, 66	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( et /\ ta' ) -> f e. H )
68	5	simp3bi 1078	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( et -> z e. ( { y } u. trCl ( y , A , R ) ) )
69	68	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( et /\ ta' ) -> z e. ( { y } u. trCl ( y , A , R ) ) )
70	59	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( et /\ ta' ) -> dom f = ( { y } u. trCl ( y , A , R ) ) )
71	69, 70	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( et /\ ta' ) -> z e. dom f )
72	67, 71	jca 554	. . . . . . . . . 10 |- ( ( et /\ ta' ) -> ( f e. H /\ z e. dom f ) )
73	55, 72	bnj593 30815	. . . . . . . . 9 |- ( et -> E. f ( f e. H /\ z e. dom f ) )
74		df-rex 2918	. . . . . . . . 9 |- ( E. f e. H z e. dom f <-> E. f ( f e. H /\ z e. dom f ) )
75	73, 74	sylibr 224	. . . . . . . 8 |- ( et -> E. f e. H z e. dom f )
76		bnj1398.10	. . . . . . . . . . . 12 |- P = U. H
77	76	dmeqi 5325	. . . . . . . . . . 11 |- dom P = dom U. H
78	62	bnj1317 30892	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. H -> A. f w e. H )
79	78	bnj1400 30906	. . . . . . . . . . 11 |- dom U. H = U_ f e. H dom f
80	77, 79	eqtri 2644	. . . . . . . . . 10 |- dom P = U_ f e. H dom f
81	80	eleq2i 2693	. . . . . . . . 9 |- ( z e. dom P <-> z e. U_ f e. H dom f )
82		eliun 4524	. . . . . . . . 9 |- ( z e. U_ f e. H dom f <-> E. f e. H z e. dom f )
83	81, 82	bitri 264	. . . . . . . 8 |- ( z e. dom P <-> E. f e. H z e. dom f )
84	75, 83	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( et -> z e. dom P )
85	17, 84	bnj593 30815	. . . . . 6 |- ( th -> E. y z e. dom P )
86		nfre1 3005	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y E. y e. pred ( x , A , R ) ta'
87	86	nfab 2769	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ y { f | E. y e. pred ( x , A , R ) ta' }
88	62, 87	nfcxfr 2762	. . . . . . . . . 10 |- F/_ y H
89	88	nfuni 4442	. . . . . . . . 9 |- F/_ y U. H
90	76, 89	nfcxfr 2762	. . . . . . . 8 |- F/_ y P
91	90	nfdm 5367	. . . . . . 7 |- F/_ y dom P
92	91	nfcrii 2757	. . . . . 6 |- ( z e. dom P -> A. y z e. dom P )
93	85, 92	bnj1397 30905	. . . . 5 |- ( th -> z e. dom P )
94	1, 93	sylbir 225	. . . 4 |- ( ( ch /\ z e. U_ y e. pred ( x , A , R ) ( { y } u. trCl ( y , A , R ) ) ) -> z e. dom P )
95	94	ex 450	. . 3 |- ( ch -> ( z e. U_ y e. pred ( x , A , R ) ( { y } u. trCl ( y , A , R ) ) -> z e. dom P ) )
96	95	ssrdv 3609	. 2 |- ( ch -> U_ y e. pred ( x , A , R ) ( { y } u. trCl ( y , A , R ) ) C_ dom P )
97		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( f e. H /\ z e. dom f ) -> z e. dom f )
98	66	simprbi 480	. . . . . . . 8 |- ( f e. H -> E. y e. pred ( x , A , R ) dom f = ( { y } u. trCl ( y , A , R ) ) )
99	98	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( f e. H /\ z e. dom f ) -> E. y e. pred ( x , A , R ) dom f = ( { y } u. trCl ( y , A , R ) ) )
100		r19.42v 3092	. . . . . . . 8 |- ( E. y e. pred ( x , A , R ) ( z e. dom f /\ dom f = ( { y } u. trCl ( y , A , R ) ) ) <-> ( z e. dom f /\ E. y e. pred ( x , A , R ) dom f = ( { y } u. trCl ( y , A , R ) ) ) )
101		eleq2 2690	. . . . . . . . . 10 |- ( dom f = ( { y } u. trCl ( y , A , R ) ) -> ( z e. dom f <-> z e. ( { y } u. trCl ( y , A , R ) ) ) )
102	101	biimpac 503	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. dom f /\ dom f = ( { y } u. trCl ( y , A , R ) ) ) -> z e. ( { y } u. trCl ( y , A , R ) ) )
103	102	reximi 3011	. . . . . . . 8 |- ( E. y e. pred ( x , A , R ) ( z e. dom f /\ dom f = ( { y } u. trCl ( y , A , R ) ) ) -> E. y e. pred ( x , A , R ) z e. ( { y } u. trCl ( y , A , R ) ) )
104	100, 103	sylbir 225	. . . . . . 7 |- ( ( z e. dom f /\ E. y e. pred ( x , A , R ) dom f = ( { y } u. trCl ( y , A , R ) ) ) -> E. y e. pred ( x , A , R ) z e. ( { y } u. trCl ( y , A , R ) ) )
105	97, 99, 104	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( f e. H /\ z e. dom f ) -> E. y e. pred ( x , A , R ) z e. ( { y } u. trCl ( y , A , R ) ) )
106	105	rexlimiva 3028	. . . . 5 |- ( E. f e. H z e. dom f -> E. y e. pred ( x , A , R ) z e. ( { y } u. trCl ( y , A , R ) ) )
107		eliun 4524	. . . . 5 |- ( z e. U_ y e. pred ( x , A , R ) ( { y } u. trCl ( y , A , R ) ) <-> E. y e. pred ( x , A , R ) z e. ( { y } u. trCl ( y , A , R ) ) )
108	106, 83, 107	3imtr4i 281	. . . 4 |- ( z e. dom P -> z e. U_ y e. pred ( x , A , R ) ( { y } u. trCl ( y , A , R ) ) )
109	108	ssriv 3607	. . 3 |- dom P C_ U_ y e. pred ( x , A , R ) ( { y } u. trCl ( y , A , R ) )
110	109	a1i 11	. 2 |- ( ch -> dom P C_ U_ y e. pred ( x , A , R ) ( { y } u. trCl ( y , A , R ) ) )
111	96, 110	eqssd 3620	1 |- ( ch -> U_ y e. pred ( x , A , R ) ( { y } u. trCl ( y , A , R ) ) = dom P )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   [.wsbc 3435   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   <.cop 4183   U.cuni 4436   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   |` cres 5116   Fn wfn 5883   ` cfv 5888   predc-bnj14 30754   FrSe w-bnj15 30758   trClc-bnj18 30760

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-dm 5124  df-bnj14 30755  df-bnj18 30761

This theorem is referenced by:  bnj1415  31106