Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  br6 Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem br6 31647
Description: Substitution for a six-place predicate. (Contributed by Scott Fenton, 4-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
br6.1 |- ( a = A -> ( ph <-> ps ) )
br6.2 |- ( b = B -> ( ps <-> ch ) )
br6.3 |- ( c = C -> ( ch <-> th ) )
br6.4 |- ( d = D -> ( th <-> ta ) )
br6.5 |- ( e = E -> ( ta <-> et ) )
br6.6 |- ( f = F -> ( et <-> ze ) )
br6.7 |- ( x = X -> P = Q )
br6.8 |- R = { <. p , q >. | E. x e. S E. a e. P E. b e. P E. c e. P E. d e. P E. e e. P E. f e. P ( p = <. a , <. b , c >. >. /\ q = <. d , <. e , f >. >. /\ ph ) }
Assertion
Ref Expression
br6 |- ( ( X e. S /\ ( A e. Q /\ B e. Q /\ C e. Q ) /\ ( D e. Q /\ E e. Q /\ F e. Q ) ) -> ( <. A , <. B , C >. >. R <. D , <. E , F >. >. <-> ze ) )
Distinct variable groups:   ch, b   et, e   a, b, c, d, e, f, p, q, P   x, p, ph, q   ps, a   x, a, A, b, c, d, e, f, p, q   B, a, b, c, d, e, f, p, q, x   Q, a, b, c, d, e, f, x   C, a, b, c, d, e, f, p, q, x   D, a, b, c, d, e, f, p, q, x   X, a, b, c, d, e, f, x   E, a, b, c, d, e, f, p, q, x   ta, d   th, c   ze, a, b, c, d, e, f, x   F, a, b, c, d, e, f, p, q, x   S, a, b, c, d, e, f, p, q, x
Allowed substitution hints:   ph( e, f, a, b, c, d)   ps( x, e, f, q, p, b, c, d)   ch( x, e, f, q, p, a, c, d)   th( x, e, f, q, p, a, b, d)   ta( x, e, f, q, p, a, b, c)   et( x, f, q, p, a, b, c, d)   ze( q, p)   P( x)   Q( q, p)   R( x, e, f, q, p, a, b, c, d)   X( q, p)
Proof of Theorem br6
StepHypRef Expression
1 opex 4932 . . 3 |- <. A , <. B , C >. >. e. _V
2 opex 4932 . . 3 |- <. D , <. E , F >. >. e. _V
3 eqeq1 2626 . . . . . . . . 9 |- ( p = <. A , <. B , C >. >. -> ( p = <. a , <. b , c >. >. <-> <. A , <. B , C >. >. = <. a , <. b , c >. >. ) )
4 eqcom 2629 . . . . . . . . 9 |- ( <. A , <. B , C >. >. = <. a , <. b , c >. >. <-> <. a , <. b , c >. >. = <. A , <. B , C >. >. )
53, 4syl6bb 276 . . . . . . . 8 |- ( p = <. A , <. B , C >. >. -> ( p = <. a , <. b , c >. >. <-> <. a , <. b , c >. >. = <. A , <. B , C >. >. ) )
653anbi1d 1403 . . . . . . 7 |- ( p = <. A , <. B , C >. >. -> ( ( p = <. a , <. b , c >. >. /\ q = <. d , <. e , f >. >. /\ ph ) <-> ( <. a , <. b , c >. >. = <. A , <. B , C >. >. /\ q = <. d , <. e , f >. >. /\ ph ) ) )
76rexbidv 3052 . . . . . 6 |- ( p = <. A , <. B , C >. >. -> ( E. f e. P ( p = <. a , <. b , c >. >. /\ q = <. d , <. e , f >. >. /\ ph ) <-> E. f e. P ( <. a , <. b , c >. >. = <. A , <. B , C >. >. /\ q = <. d , <. e , f >. >. /\ ph ) ) )
872rexbidv 3057 . . . . 5 |- ( p = <. A , <. B , C >. >. -> ( E. d e. P E. e e. P E. f e. P ( p = <. a , <. b , c >. >. /\ q = <. d , <. e , f >. >. /\ ph ) <-> E. d e. P E. e e. P E. f e. P ( <. a , <. b , c >. >. = <. A , <. B , C >. >. /\ q = <. d , <. e , f >. >. /\ ph ) ) )
982rexbidv 3057 . . . 4 |- ( p = <. A , <. B , C >. >. -> ( E. b e. P E. c e. P E. d e. P E. e e. P E. f e. P ( p = <. a , <. b , c >. >. /\ q = <. d , <. e , f >. >. /\ ph ) <-> E. b e. P E. c e. P E. d e. P E. e e. P E. f e. P ( <. a , <. b , c >. >. = <. A , <. B , C >. >. /\ q = <. d , <. e , f >. >. /\ ph ) ) )
1092rexbidv 3057 . . 3 |- ( p = <. A , <. B , C >. >. -> ( E. x e. S E. a e. P E. b e. P E. c e. P E. d e. P E. e e. P E. f e. P ( p = <. a , <. b , c >. >. /\ q = <. d , <. e , f >. >. /\ ph ) <-> E. x e. S E. a e. P E. b e. P E. c e. P E. d e. P E. e e. P E. f e. P ( <. a , <. b , c >. >. = <. A , <. B , C >. >. /\ q = <. d , <. e , f >. >. /\ ph ) ) )
11 eqeq1 2626 . . . . . . . . 9 |- ( q = <. D , <. E , F >. >. -> ( q = <. d , <. e , f >. >. <-> <. D , <. E , F >. >. = <. d , <. e , f >. >. ) )
12 eqcom 2629 . . . . . . . . 9 |- ( <. D , <. E , F >. >. = <. d , <. e , f >. >. <-> <. d , <. e , f >. >. = <. D , <. E , F >. >. )
1311, 12syl6bb 276 . . . . . . . 8 |- ( q = <. D , <. E , F >. >. -> ( q = <. d , <. e , f >. >. <-> <. d , <. e , f >. >. = <. D , <. E , F >. >. ) )
14133anbi2d 1404 . . . . . . 7 |- ( q = <. D , <. E , F >. >. -> ( ( <. a , <. b , c >. >. = <. A , <. B , C >. >. /\ q = <. d , <. e , f >. >. /\ ph ) <-> ( <. a , <. b , c >. >. = <. A , <. B , C >. >. /\ <. d , <. e , f >. >. = <. D , <. E , F >. >. /\ ph ) ) )
1514rexbidv 3052 . . . . . 6 |- ( q = <. D , <. E , F >. >. -> ( E. f e. P ( <. a , <. b , c >. >. = <. A , <. B , C >. >. /\ q = <. d , <. e , f >. >. /\ ph ) <-> E. f e. P ( <. a , <. b , c >. >. = <. A , <. B , C >. >. /\ <. d , <. e , f >. >. = <. D , <. E , F >. >. /\ ph ) ) )
16152rexbidv 3057 . . . . 5 |- ( q = <. D , <. E , F >. >. -> ( E. d e. P E. e e. P E. f e. P ( <. a , <. b , c >. >. = <. A , <. B , C >. >. /\ q = <. d , <. e , f >. >. /\ ph ) <-> E. d e. P E. e e. P E. f e. P ( <. a , <. b , c >. >. = <. A , <. B , C >. >. /\ <. d , <. e , f >. >. = <. D , <. E , F >. >. /\ ph ) ) )
17162rexbidv 3057 . . . 4 |- ( q = <. D , <. E , F >. >. -> ( E. b e. P E. c e. P E. d e. P E. e e. P E. f e. P ( <. a , <. b , c >. >. = <. A , <. B , C >. >. /\ q = <. d , <. e , f >. >. /\ ph ) <-> E. b e. P E. c e. P E. d e. P E. e e. P E. f e. P ( <. a , <. b , c >. >. = <. A , <. B , C >. >. /\ <. d , <. e , f >. >. = <. D , <. E , F >. >. /\ ph ) ) )
18172rexbidv 3057 . . 3 |- ( q = <. D , <. E , F >. >. -> ( E. x e. S E. a e. P E. b e. P E. c e. P E. d e. P E. e e. P E. f e. P ( <. a , <. b , c >. >. = <. A , <. B , C >. >. /\ q = <. d , <. e , f >. >. /\ ph ) <-> E. x e. S E. a e. P E. b e. P E. c e. P E. d e. P E. e e. P E. f e. P ( <. a , <. b , c >. >. = <. A , <. B , C >. >. /\ <. d , <. e , f >. >. = <. D , <. E , F >. >. /\ ph ) ) )
19 br6.8 . . 3 |- R = { <. p , q >. | E. x e. S E. a e. P E. b e. P E. c e. P E. d e. P E. e e. P E. f e. P ( p = <. a , <. b , c >. >. /\ q = <. d , <. e , f >. >. /\ ph ) }
201, 2, 10, 18, 19brab 4998 . 2 |- ( <. A , <. B , C >. >. R <. D , <. E , F >. >. <-> E. x e. S E. a e. P E. b e. P E. c e. P E. d e. P E. e e. P E. f e. P ( <. a , <. b , c >. >. = <. A , <. B , C >. >. /\ <. d , <. e , f >. >. = <. D , <. E , F >. >. /\ ph ) )
21 vex 3203 . . . . . . . . . . . 12 |- a e. _V
22 opex 4932 . . . . . . . . . . . 12 |- <. b , c >. e. _V
2321, 22opth 4945 . . . . . . . . . . 11 |- ( <. a , <. b , c >. >. = <. A , <. B , C >. >. <-> ( a = A /\ <. b , c >. = <. B , C >. ) )
24 br6.1 . . . . . . . . . . . 12 |- ( a = A -> ( ph <-> ps ) )
25 vex 3203 . . . . . . . . . . . . . 14 |- b e. _V
26 vex 3203 . . . . . . . . . . . . . 14 |- c e. _V
2725, 26opth 4945 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( <. b , c >. = <. B , C >. <-> ( b = B /\ c = C ) )
28 br6.2 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b = B -> ( ps <-> ch ) )
29 br6.3 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( c = C -> ( ch <-> th ) )
3028, 29sylan9bb 736 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( b = B /\ c = C ) -> ( ps <-> th ) )
3127, 30sylbi 207 . . . . . . . . . . . 12 |- ( <. b , c >. = <. B , C >. -> ( ps <-> th ) )
3224, 31sylan9bb 736 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( a = A /\ <. b , c >. = <. B , C >. ) -> ( ph <-> th ) )
3323, 32sylbi 207 . . . . . . . . . 10 |- ( <. a , <. b , c >. >. = <. A , <. B , C >. >. -> ( ph <-> th ) )
34 vex 3203 . . . . . . . . . . . 12 |- d e. _V
35 opex 4932 . . . . . . . . . . . 12 |- <. e , f >. e. _V
3634, 35opth 4945 . . . . . . . . . . 11 |- ( <. d , <. e , f >. >. = <. D , <. E , F >. >. <-> ( d = D /\ <. e , f >. = <. E , F >. ) )
37 br6.4 . . . . . . . . . . . 12 |- ( d = D -> ( th <-> ta ) )
38 vex 3203 . . . . . . . . . . . . . 14 |- e e. _V
39 vex 3203 . . . . . . . . . . . . . 14 |- f e. _V
4038, 39opth 4945 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( <. e , f >. = <. E , F >. <-> ( e = E /\ f = F ) )
41 br6.5 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( e = E -> ( ta <-> et ) )
42 br6.6 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = F -> ( et <-> ze ) )
4341, 42sylan9bb 736 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( e = E /\ f = F ) -> ( ta <-> ze ) )
4440, 43sylbi 207 . . . . . . . . . . . 12 |- ( <. e , f >. = <. E , F >. -> ( ta <-> ze ) )
4537, 44sylan9bb 736 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( d = D /\ <. e , f >. = <. E , F >. ) -> ( th <-> ze ) )
4636, 45sylbi 207 . . . . . . . . . 10 |- ( <. d , <. e , f >. >. = <. D , <. E , F >. >. -> ( th <-> ze ) )
4733, 46sylan9bb 736 . . . . . . . . 9 |- ( ( <. a , <. b , c >. >. = <. A , <. B , C >. >. /\ <. d , <. e , f >. >. = <. D , <. E , F >. >. ) -> ( ph <-> ze ) )
4847biimp3a 1432 . . . . . . . 8 |- ( ( <. a , <. b , c >. >. = <. A , <. B , C >. >. /\ <. d , <. e , f >. >. = <. D , <. E , F >. >. /\ ph ) -> ze )
4948a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( X e. S /\ ( A e. Q /\ B e. Q /\ C e. Q ) /\ ( D e. Q /\ E e. Q /\ F e. Q ) ) /\ ( x e. S /\ a e. P ) ) /\ ( b e. P /\ c e. P ) ) /\ ( d e. P /\ e e. P ) ) /\ f e. P ) -> ( ( <. a , <. b , c >. >. = <. A , <. B , C >. >. /\ <. d , <. e , f >. >. = <. D , <. E , F >. >. /\ ph ) -> ze ) )
5049rexlimdva 3031 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( X e. S /\ ( A e. Q /\ B e. Q /\ C e. Q ) /\ ( D e. Q /\ E e. Q /\ F e. Q ) ) /\ ( x e. S /\ a e. P ) ) /\ ( b e. P /\ c e. P ) ) /\ ( d e. P /\ e e. P ) ) -> ( E. f e. P ( <. a , <. b , c >. >. = <. A , <. B , C >. >. /\ <. d , <. e , f >. >. = <. D , <. E , F >. >. /\ ph ) -> ze ) )
5150rexlimdvva 3038 . . . . 5 |- ( ( ( ( X e. S /\ ( A e. Q /\ B e. Q /\ C e. Q ) /\ ( D e. Q /\ E e. Q /\ F e. Q ) ) /\ ( x e. S /\ a e. P ) ) /\ ( b e. P /\ c e. P ) ) -> ( E. d e. P E. e e. P E. f e. P ( <. a , <. b , c >. >. = <. A , <. B , C >. >. /\ <. d , <. e , f >. >. = <. D , <. E , F >. >. /\ ph ) -> ze ) )
5251rexlimdvva 3038 . . . 4 |- ( ( ( X e. S /\ ( A e. Q /\ B e. Q /\ C e. Q ) /\ ( D e. Q /\ E e. Q /\ F e. Q ) ) /\ ( x e. S /\ a e. P ) ) -> ( E. b e. P E. c e. P E. d e. P E. e e. P E. f e. P ( <. a , <. b , c >. >. = <. A , <. B , C >. >. /\ <. d , <. e , f >. >. = <. D , <. E , F >. >. /\ ph ) -> ze ) )
5352rexlimdvva 3038 . . 3 |- ( ( X e. S /\ ( A e. Q /\ B e. Q /\ C e. Q ) /\ ( D e. Q /\ E e. Q /\ F e. Q ) ) -> ( E. x e. S E. a e. P E. b e. P E. c e. P E. d e. P E. e e. P E. f e. P ( <. a , <. b , c >. >. = <. A , <. B , C >. >. /\ <. d , <. e , f >. >. = <. D , <. E , F >. >. /\ ph ) -> ze ) )
54 simpl1 1064 . . . . 5 |- ( ( ( X e. S /\ ( A e. Q /\ B e. Q /\ C e. Q ) /\ ( D e. Q /\ E e. Q /\ F e. Q ) ) /\ ze ) -> X e. S )
55 simpl2 1065 . . . . . 6 |- ( ( ( X e. S /\ ( A e. Q /\ B e. Q /\ C e. Q ) /\ ( D e. Q /\ E e. Q /\ F e. Q ) ) /\ ze ) -> ( A e. Q /\ B e. Q /\ C e. Q ) )
56 opeq1 4402 . . . . . . . . . 10 |- ( d = D -> <. d , <. e , f >. >. = <. D , <. e , f >. >. )
5756eqeq1d 2624 . . . . . . . . 9 |- ( d = D -> ( <. d , <. e , f >. >. = <. D , <. E , F >. >. <-> <. D , <. e , f >. >. = <. D , <. E , F >. >. ) )
5857, 373anbi23d 1402 . . . . . . . 8 |- ( d = D -> ( ( <. A , <. B , C >. >. = <. A , <. B , C >. >. /\ <. d , <. e , f >. >. = <. D , <. E , F >. >. /\ th ) <-> ( <. A , <. B , C >. >. = <. A , <. B , C >. >. /\ <. D , <. e , f >. >. = <. D , <. E , F >. >. /\ ta ) ) )
59 opeq1 4402 . . . . . . . . . . 11 |- ( e = E -> <. e , f >. = <. E , f >. )
6059opeq2d 4409 . . . . . . . . . 10 |- ( e = E -> <. D , <. e , f >. >. = <. D , <. E , f >. >. )
6160eqeq1d 2624 . . . . . . . . 9 |- ( e = E -> ( <. D , <. e , f >. >. = <. D , <. E , F >. >. <-> <. D , <. E , f >. >. = <. D , <. E , F >. >. ) )
6261, 413anbi23d 1402 . . . . . . . 8 |- ( e = E -> ( ( <. A , <. B , C >. >. = <. A , <. B , C >. >. /\ <. D , <. e , f >. >. = <. D , <. E , F >. >. /\ ta ) <-> ( <. A , <. B , C >. >. = <. A , <. B , C >. >. /\ <. D , <. E , f >. >. = <. D , <. E , F >. >. /\ et ) ) )
63 opeq2 4403 . . . . . . . . . . . 12 |- ( f = F -> <. E , f >. = <. E , F >. )
6463opeq2d 4409 . . . . . . . . . . 11 |- ( f = F -> <. D , <. E , f >. >. = <. D , <. E , F >. >. )
6564eqeq1d 2624 . . . . . . . . . 10 |- ( f = F -> ( <. D , <. E , f >. >. = <. D , <. E , F >. >. <-> <. D , <. E , F >. >. = <. D , <. E , F >. >. ) )
6665, 423anbi23d 1402 . . . . . . . . 9 |- ( f = F -> ( ( <. A , <. B , C >. >. = <. A , <. B , C >. >. /\ <. D , <. E , f >. >. = <. D , <. E , F >. >. /\ et ) <-> ( <. A , <. B , C >. >. = <. A , <. B , C >. >. /\ <. D , <. E , F >. >. = <. D , <. E , F >. >. /\ ze ) ) )
67 eqid 2622 . . . . . . . . . . 11 |- <. A , <. B , C >. >. = <. A , <. B , C >. >.
68 eqid 2622 . . . . . . . . . . 11 |- <. D , <. E , F >. >. = <. D , <. E , F >. >.
6967, 68pm3.2i 471 . . . . . . . . . 10 |- ( <. A , <. B , C >. >. = <. A , <. B , C >. >. /\ <. D , <. E , F >. >. = <. D , <. E , F >. >. )
70 df-3an 1039 . . . . . . . . . 10 |- ( ( <. A , <. B , C >. >. = <. A , <. B , C >. >. /\ <. D , <. E , F >. >. = <. D , <. E , F >. >. /\ ze ) <-> ( ( <. A , <. B , C >. >. = <. A , <. B , C >. >. /\ <. D , <. E , F >. >. = <. D , <. E , F >. >. ) /\ ze ) )
7169, 70mpbiran 953 . . . . . . . . 9 |- ( ( <. A , <. B , C >. >. = <. A , <. B , C >. >. /\ <. D , <. E , F >. >. = <. D , <. E , F >. >. /\ ze ) <-> ze )
7266, 71syl6bb 276 . . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( ( <. A , <. B , C >. >. = <. A , <. B , C >. >. /\ <. D , <. E , f >. >. = <. D , <. E , F >. >. /\ et ) <-> ze ) )
7358, 62, 72rspc3ev 3326 . . . . . . 7 |- ( ( ( D e. Q /\ E e. Q /\ F e. Q ) /\ ze ) -> E. d e. Q E. e e. Q E. f e. Q ( <. A , <. B , C >. >. = <. A , <. B , C >. >. /\ <. d , <. e , f >. >. = <. D , <. E , F >. >. /\ th ) )
74733ad2antl3 1225 . . . . . 6 |- ( ( ( X e. S /\ ( A e. Q /\ B e. Q /\ C e. Q ) /\ ( D e. Q /\ E e. Q /\ F e. Q ) ) /\ ze ) -> E. d e. Q E. e e. Q E. f e. Q ( <. A , <. B , C >. >. = <. A , <. B , C >. >. /\ <. d , <. e , f >. >. = <. D , <. E , F >. >. /\ th ) )
75 opeq1 4402 . . . . . . . . . . 11 |- ( a = A -> <. a , <. b , c >. >. = <. A , <. b , c >. >. )
7675eqeq1d 2624 . . . . . . . . . 10 |- ( a = A -> ( <. a , <. b , c >. >. = <. A , <. B , C >. >. <-> <. A , <. b , c >. >. = <. A , <. B , C >. >. ) )
7776, 243anbi13d 1401 . . . . . . . . 9 |- ( a = A -> ( ( <. a , <. b , c >. >. = <. A , <. B , C >. >. /\ <. d , <. e , f >. >. = <. D , <. E , F >. >. /\ ph ) <-> ( <. A , <. b , c >. >. = <. A , <. B , C >. >. /\ <. d , <. e , f >. >. = <. D , <. E , F >. >. /\ ps ) ) )
7877rexbidv 3052 . . . . . . . 8 |- ( a = A -> ( E. f e. Q ( <. a , <. b , c >. >. = <. A , <. B , C >. >. /\ <. d , <. e , f >. >. = <. D , <. E , F >. >. /\ ph ) <-> E. f e. Q ( <. A , <. b , c >. >. = <. A , <. B , C >. >. /\ <. d , <. e , f >. >. = <. D , <. E , F >. >. /\ ps ) ) )
79782rexbidv 3057 . . . . . . 7 |- ( a = A -> ( E. d e. Q E. e e. Q E. f e. Q ( <. a , <. b , c >. >. = <. A , <. B , C >. >. /\ <. d , <. e , f >. >. = <. D , <. E , F >. >. /\ ph ) <-> E. d e. Q E. e e. Q E. f e. Q ( <. A , <. b , c >. >. = <. A , <. B , C >. >. /\ <. d , <. e , f >. >. = <. D , <. E , F >. >. /\ ps ) ) )
80 opeq1 4402 . . . . . . . . . . . 12 |- ( b = B -> <. b , c >. = <. B , c >. )
8180opeq2d 4409 . . . . . . . . . . 11 |- ( b = B -> <. A , <. b , c >. >. = <. A , <. B , c >. >. )
8281eqeq1d 2624 . . . . . . . . . 10 |- ( b = B -> ( <. A , <. b , c >. >. = <. A , <. B , C >. >. <-> <. A , <. B , c >. >. = <. A , <. B , C >. >. ) )
8382, 283anbi13d 1401 . . . . . . . . 9 |- ( b = B -> ( ( <. A , <. b , c >. >. = <. A , <. B , C >. >. /\ <. d , <. e , f >. >. = <. D , <. E , F >. >. /\ ps ) <-> ( <. A , <. B , c >. >. = <. A , <. B , C >. >. /\ <. d , <. e , f >. >. = <. D , <. E , F >. >. /\ ch ) ) )
8483rexbidv 3052 . . . . . . . 8 |- ( b = B -> ( E. f e. Q ( <. A , <. b , c >. >. = <. A , <. B , C >. >. /\ <. d , <. e , f >. >. = <. D , <. E , F >. >. /\ ps ) <-> E. f e. Q ( <. A , <. B , c >. >. = <. A , <. B , C >. >. /\ <. d , <. e , f >. >. = <. D , <. E , F >. >. /\ ch ) ) )
85842rexbidv 3057 . . . . . . 7 |- ( b = B -> ( E. d e. Q E. e e. Q E. f e. Q ( <. A , <. b , c >. >. = <. A , <. B , C >. >. /\ <. d , <. e , f >. >. = <. D , <. E , F >. >. /\ ps ) <-> E. d e. Q E. e e. Q E. f e. Q ( <. A , <. B , c >. >. = <. A , <. B , C >. >. /\ <. d , <. e , f >. >. = <. D , <. E , F >. >. /\ ch ) ) )
86 opeq2 4403 . . . . . . . . . . . 12 |- ( c = C -> <. B , c >. = <. B , C >. )
8786opeq2d 4409 . . . . . . . . . . 11 |- ( c = C -> <. A , <. B , c >. >. = <. A , <. B , C >. >. )
8887eqeq1d 2624 . . . . . . . . . 10 |- ( c = C -> ( <. A , <. B , c >. >. = <. A , <. B , C >. >. <-> <. A , <. B , C >. >. = <. A , <. B , C >. >. ) )
8988, 293anbi13d 1401 . . . . . . . . 9 |- ( c = C -> ( ( <. A , <. B , c >. >. = <. A , <. B , C >. >. /\ <. d , <. e , f >. >. = <. D , <. E , F >. >. /\ ch ) <-> ( <. A , <. B , C >. >. = <. A , <. B , C >. >. /\ <. d , <. e , f >. >. = <. D , <. E , F >. >. /\ th ) ) )
9089rexbidv 3052 . . . . . . . 8 |- ( c = C -> ( E. f e. Q ( <. A , <. B , c >. >. = <. A , <. B , C >. >. /\ <. d , <. e , f >. >. = <. D , <. E , F >. >. /\ ch ) <-> E. f e. Q ( <. A , <. B , C >. >. = <. A , <. B , C >. >. /\ <. d , <. e , f >. >. = <. D , <. E , F >. >. /\ th ) ) )
91902rexbidv 3057 . . . . . . 7 |- ( c = C -> ( E. d e. Q E. e e. Q E. f e. Q ( <. A , <. B , c >. >. = <. A , <. B , C >. >. /\ <. d , <. e , f >. >. = <. D , <. E , F >. >. /\ ch ) <-> E. d e. Q E. e e. Q E. f e. Q ( <. A , <. B , C >. >. = <. A , <. B , C >. >. /\ <. d , <. e , f >. >. = <. D , <. E , F >. >. /\ th ) ) )
9279, 85, 91rspc3ev 3326 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. Q /\ B e. Q /\ C e. Q ) /\ E. d e. Q E. e e. Q E. f e. Q ( <. A , <. B , C >. >. = <. A , <. B , C >. >. /\ <. d , <. e , f >. >. = <. D , <. E , F >. >. /\ th ) ) -> E. a e. Q E. b e. Q E. c e. Q E. d e. Q E. e e. Q E. f e. Q ( <. a , <. b , c >. >. = <. A , <. B , C >. >. /\ <. d , <. e , f >. >. = <. D , <. E , F >. >. /\ ph ) )
9355, 74, 92syl2anc 693 . . . . 5 |- ( ( ( X e. S /\ ( A e. Q /\ B e. Q /\ C e. Q ) /\ ( D e. Q /\ E e. Q /\ F e. Q ) ) /\ ze ) -> E. a e. Q E. b e. Q E. c e. Q E. d e. Q E. e e. Q E. f e. Q ( <. a , <. b , c >. >. = <. A , <. B , C >. >. /\ <. d , <. e , f >. >. = <. D , <. E , F >. >. /\ ph ) )
94 br6.7 . . . . . . 7 |- ( x = X -> P = Q )
9594rexeqdv 3145 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = X -> ( E. f e. P ( <. a , <. b , c >. >. = <. A , <. B , C >. >. /\ <. d , <. e , f >. >. = <. D , <. E , F >. >. /\ ph ) <-> E. f e. Q ( <. a , <. b , c >. >. = <. A , <. B , C >. >. /\ <. d , <. e , f >. >. = <. D , <. E , F >. >. /\ ph ) ) )
9694, 95rexeqbidv 3153 . . . . . . . . . 10 |- ( x = X -> ( E. e e. P E. f e. P ( <. a , <. b , c >. >. = <. A , <. B , C >. >. /\ <. d , <. e , f >. >. = <. D , <. E , F >. >. /\ ph ) <-> E. e e. Q E. f e. Q ( <. a , <. b , c >. >. = <. A , <. B , C >. >. /\ <. d , <. e , f >. >. = <. D , <. E , F >. >. /\ ph ) ) )
9794, 96rexeqbidv 3153 . . . . . . . . 9 |- ( x = X -> ( E. d e. P E. e e. P E. f e. P ( <. a , <. b , c >. >. = <. A , <. B , C >. >. /\ <. d , <. e , f >. >. = <. D , <. E , F >. >. /\ ph ) <-> E. d e. Q E. e e. Q E. f e. Q ( <. a , <. b , c >. >. = <. A , <. B , C >. >. /\ <. d , <. e , f >. >. = <. D , <. E , F >. >. /\ ph ) ) )
9894, 97rexeqbidv 3153 . . . . . . . 8 |- ( x = X -> ( E. c e. P E. d e. P E. e e. P E. f e. P ( <. a , <. b , c >. >. = <. A , <. B , C >. >. /\ <. d , <. e , f >. >. = <. D , <. E , F >. >. /\ ph ) <-> E. c e. Q E. d e. Q E. e e. Q E. f e. Q ( <. a , <. b , c >. >. = <. A , <. B , C >. >. /\ <. d , <. e , f >. >. = <. D , <. E , F >. >. /\ ph ) ) )
9994, 98rexeqbidv 3153 . . . . . . 7 |- ( x = X -> ( E. b e. P E. c e. P E. d e. P E. e e. P E. f e. P ( <. a , <. b , c >. >. = <. A , <. B , C >. >. /\ <. d , <. e , f >. >. = <. D , <. E , F >. >. /\ ph ) <-> E. b e. Q E. c e. Q E. d e. Q E. e e. Q E. f e. Q ( <. a , <. b , c >. >. = <. A , <. B , C >. >. /\ <. d , <. e , f >. >. = <. D , <. E , F >. >. /\ ph ) ) )
10094, 99rexeqbidv 3153 . . . . . 6 |- ( x = X -> ( E. a e. P E. b e. P E. c e. P E. d e. P E. e e. P E. f e. P ( <. a , <. b , c >. >. = <. A , <. B , C >. >. /\ <. d , <. e , f >. >. = <. D , <. E , F >. >. /\ ph ) <-> E. a e. Q E. b e. Q E. c e. Q E. d e. Q E. e e. Q E. f e. Q ( <. a , <. b , c >. >. = <. A , <. B , C >. >. /\ <. d , <. e , f >. >. = <. D , <. E , F >. >. /\ ph ) ) )
101100rspcev 3309 . . . . 5 |- ( ( X e. S /\ E. a e. Q E. b e. Q E. c e. Q E. d e. Q E. e e. Q E. f e. Q ( <. a , <. b , c >. >. = <. A , <. B , C >. >. /\ <. d , <. e , f >. >. = <. D , <. E , F >. >. /\ ph ) ) -> E. x e. S E. a e. P E. b e. P E. c e. P E. d e. P E. e e. P E. f e. P ( <. a , <. b , c >. >. = <. A , <. B , C >. >. /\ <. d , <. e , f >. >. = <. D , <. E , F >. >. /\ ph ) )
10254, 93, 101syl2anc 693 . . . 4 |- ( ( ( X e. S /\ ( A e. Q /\ B e. Q /\ C e. Q ) /\ ( D e. Q /\ E e. Q /\ F e. Q ) ) /\ ze ) -> E. x e. S E. a e. P E. b e. P E. c e. P E. d e. P E. e e. P E. f e. P ( <. a , <. b , c >. >. = <. A , <. B , C >. >. /\ <. d , <. e , f >. >. = <. D , <. E , F >. >. /\ ph ) )
103102ex 450 . . 3 |- ( ( X e. S /\ ( A e. Q /\ B e. Q /\ C e. Q ) /\ ( D e. Q /\ E e. Q /\ F e. Q ) ) -> ( ze -> E. x e. S E. a e. P E. b e. P E. c e. P E. d e. P E. e e. P E. f e. P ( <. a , <. b , c >. >. = <. A , <. B , C >. >. /\ <. d , <. e , f >. >. = <. D , <. E , F >. >. /\ ph ) ) )
10453, 103impbid 202 . 2 |- ( ( X e. S /\ ( A e. Q /\ B e. Q /\ C e. Q ) /\ ( D e. Q /\ E e. Q /\ F e. Q ) ) -> ( E. x e. S E. a e. P E. b e. P E. c e. P E. d e. P E. e e. P E. f e. P ( <. a , <. b , c >. >. = <. A , <. B , C >. >. /\ <. d , <. e , f >. >. = <. D , <. E , F >. >. /\ ph ) <-> ze ) )
10520, 104syl5bb 272 1 |- ( ( X e. S /\ ( A e. Q /\ B e. Q /\ C e. Q ) /\ ( D e. Q /\ E e. Q /\ F e. Q ) ) -> ( <. A , <. B , C >. >. R <. D , <. E , F >. >. <-> ze ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   <.cop 4183   class class class wbr 4653   {copab 4712
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713
This theorem is referenced by:  brcgr3  32153
  Copyright terms: Public domain W3C validator