Theorem dfiin2g 4553

Description: Alternate definition of indexed intersection when B is a set. (Contributed by Jeff Hankins, 27-Aug-2009.)

Assertion

Ref	Expression
dfiin2g	|- ( A. x e. A B e. C -> |^|_ x e. A B = |^| { y | E. x e. A y = B } )

Distinct variable groups:   y, A   y, B   x, y

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)   C( x, y)

Proof of Theorem dfiin2g

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ral 2917	. . . 4 |- ( A. x e. A w e. B <-> A. x ( x e. A -> w e. B ) )
2		df-ral 2917	. . . . . 6 |- ( A. x e. A B e. C <-> A. x ( x e. A -> B e. C ) )
3		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = B -> ( w e. z <-> w e. B ) )
4	3	biimprcd 240	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. B -> ( z = B -> w e. z ) )
5	4	alrimiv 1855	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. B -> A. z ( z = B -> w e. z ) )
6		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- B = B
7		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = B -> ( z = B <-> B = B ) )
8	7, 3	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = B -> ( ( z = B -> w e. z ) <-> ( B = B -> w e. B ) ) )
9	8	spcgv 3293	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. C -> ( A. z ( z = B -> w e. z ) -> ( B = B -> w e. B ) ) )
10	6, 9	mpii 46	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. C -> ( A. z ( z = B -> w e. z ) -> w e. B ) )
11	5, 10	impbid2 216	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. C -> ( w e. B <-> A. z ( z = B -> w e. z ) ) )
12	11	imim2i 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A -> B e. C ) -> ( x e. A -> ( w e. B <-> A. z ( z = B -> w e. z ) ) ) )
13	12	pm5.74d 262	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A -> B e. C ) -> ( ( x e. A -> w e. B ) <-> ( x e. A -> A. z ( z = B -> w e. z ) ) ) )
14	13	alimi 1739	. . . . . . 7 |- ( A. x ( x e. A -> B e. C ) -> A. x ( ( x e. A -> w e. B ) <-> ( x e. A -> A. z ( z = B -> w e. z ) ) ) )
15		albi 1746	. . . . . . 7 |- ( A. x ( ( x e. A -> w e. B ) <-> ( x e. A -> A. z ( z = B -> w e. z ) ) ) -> ( A. x ( x e. A -> w e. B ) <-> A. x ( x e. A -> A. z ( z = B -> w e. z ) ) ) )
16	14, 15	syl 17	. . . . . 6 |- ( A. x ( x e. A -> B e. C ) -> ( A. x ( x e. A -> w e. B ) <-> A. x ( x e. A -> A. z ( z = B -> w e. z ) ) ) )
17	2, 16	sylbi 207	. . . . 5 |- ( A. x e. A B e. C -> ( A. x ( x e. A -> w e. B ) <-> A. x ( x e. A -> A. z ( z = B -> w e. z ) ) ) )
18		df-ral 2917	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A ( z = B -> w e. z ) <-> A. x ( x e. A -> ( z = B -> w e. z ) ) )
19	18	albii 1747	. . . . . . 7 |- ( A. z A. x e. A ( z = B -> w e. z ) <-> A. z A. x ( x e. A -> ( z = B -> w e. z ) ) )
20		alcom 2037	. . . . . . 7 |- ( A. x A. z ( x e. A -> ( z = B -> w e. z ) ) <-> A. z A. x ( x e. A -> ( z = B -> w e. z ) ) )
21	19, 20	bitr4i 267	. . . . . 6 |- ( A. z A. x e. A ( z = B -> w e. z ) <-> A. x A. z ( x e. A -> ( z = B -> w e. z ) ) )
22		r19.23v 3023	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A ( z = B -> w e. z ) <-> ( E. x e. A z = B -> w e. z ) )
23		vex 3203	. . . . . . . . . 10 |- z e. _V
24		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = z -> ( y = B <-> z = B ) )
25	24	rexbidv 3052	. . . . . . . . . 10 |- ( y = z -> ( E. x e. A y = B <-> E. x e. A z = B ) )
26	23, 25	elab 3350	. . . . . . . . 9 |- ( z e. { y | E. x e. A y = B } <-> E. x e. A z = B )
27	26	imbi1i 339	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. { y | E. x e. A y = B } -> w e. z ) <-> ( E. x e. A z = B -> w e. z ) )
28	22, 27	bitr4i 267	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A ( z = B -> w e. z ) <-> ( z e. { y | E. x e. A y = B } -> w e. z ) )
29	28	albii 1747	. . . . . 6 |- ( A. z A. x e. A ( z = B -> w e. z ) <-> A. z ( z e. { y | E. x e. A y = B } -> w e. z ) )
30		19.21v 1868	. . . . . . 7 |- ( A. z ( x e. A -> ( z = B -> w e. z ) ) <-> ( x e. A -> A. z ( z = B -> w e. z ) ) )
31	30	albii 1747	. . . . . 6 |- ( A. x A. z ( x e. A -> ( z = B -> w e. z ) ) <-> A. x ( x e. A -> A. z ( z = B -> w e. z ) ) )
32	21, 29, 31	3bitr3ri 291	. . . . 5 |- ( A. x ( x e. A -> A. z ( z = B -> w e. z ) ) <-> A. z ( z e. { y | E. x e. A y = B } -> w e. z ) )
33	17, 32	syl6bb 276	. . . 4 |- ( A. x e. A B e. C -> ( A. x ( x e. A -> w e. B ) <-> A. z ( z e. { y | E. x e. A y = B } -> w e. z ) ) )
34	1, 33	syl5bb 272	. . 3 |- ( A. x e. A B e. C -> ( A. x e. A w e. B <-> A. z ( z e. { y | E. x e. A y = B } -> w e. z ) ) )
35	34	abbidv 2741	. 2 |- ( A. x e. A B e. C -> { w | A. x e. A w e. B } = { w | A. z ( z e. { y | E. x e. A y = B } -> w e. z ) } )
36		df-iin 4523	. 2 |- |^|_ x e. A B = { w | A. x e. A w e. B }
37		df-int 4476	. 2 |- |^| { y | E. x e. A y = B } = { w | A. z ( z e. { y | E. x e. A y = B } -> w e. z ) }
38	35, 36, 37	3eqtr4g 2681	1 |- ( A. x e. A B e. C -> |^|_ x e. A B = |^| { y | E. x e. A y = B } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   |^|cint 4475   |^|_ciin 4521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-v 3202  df-int 4476  df-iin 4523

This theorem is referenced by:  dfiin2  4555  iinexg  4824  dfiin3g  5379  iinfi  8323  mreiincl  16256  iinopn  20707  clsval2  20854  alexsublem  21848