Theorem clsval2 20854

Description: Express closure in terms of interior. (Contributed by NM, 10-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
clsval2	|- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) = ( X \ ( ( int ` J ) ` ( X \ S ) ) ) )

Proof of Theorem clsval2

Dummy variables x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 2921	. . . . . 6 |- { z e. ( Clsd ` J ) | S C_ z } = { z | ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) }
2		clscld.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- X = U. J
3	2	cldopn 20835	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( Clsd ` J ) -> ( X \ z ) e. J )
4	3	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) ) -> ( X \ z ) e. J )
5		sscon 3744	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( S C_ z -> ( X \ z ) C_ ( X \ S ) )
6	5	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) ) -> ( X \ z ) C_ ( X \ S ) )
7	2	topopn 20711	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( J e. Top -> X e. J )
8		difexg 4808	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. J -> ( X \ z ) e. _V )
9		elpwg 4166	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( X \ z ) e. _V -> ( ( X \ z ) e. ~P ( X \ S ) <-> ( X \ z ) C_ ( X \ S ) ) )
10	7, 8, 9	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( J e. Top -> ( ( X \ z ) e. ~P ( X \ S ) <-> ( X \ z ) C_ ( X \ S ) ) )
11	10	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) ) -> ( ( X \ z ) e. ~P ( X \ S ) <-> ( X \ z ) C_ ( X \ S ) ) )
12	6, 11	mpbird 247	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) ) -> ( X \ z ) e. ~P ( X \ S ) )
13	4, 12	elind 3798	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) ) -> ( X \ z ) e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) )
14	2	cldss 20833	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. ( Clsd ` J ) -> z C_ X )
15	14	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) ) -> z C_ X )
16		dfss4 3858	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z C_ X <-> ( X \ ( X \ z ) ) = z )
17	15, 16	sylib 208	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) ) -> ( X \ ( X \ z ) ) = z )
18	17	eqcomd 2628	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) ) -> z = ( X \ ( X \ z ) ) )
19		difeq2 3722	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( X \ z ) -> ( X \ x ) = ( X \ ( X \ z ) ) )
20	19	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( X \ z ) -> ( z = ( X \ x ) <-> z = ( X \ ( X \ z ) ) ) )
21	20	rspcev 3309	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X \ z ) e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) /\ z = ( X \ ( X \ z ) ) ) -> E. x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) z = ( X \ x ) )
22	13, 18, 21	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) ) -> E. x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) z = ( X \ x ) )
23	22	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) -> E. x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) z = ( X \ x ) ) )
24		simpl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> J e. Top )
25		elin 3796	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) <-> ( x e. J /\ x e. ~P ( X \ S ) ) )
26	25	simplbi 476	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) -> x e. J )
27	2	opncld 20837	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ x e. J ) -> ( X \ x ) e. ( Clsd ` J ) )
28	24, 26, 27	syl2an 494	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ) -> ( X \ x ) e. ( Clsd ` J ) )
29	25	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) -> x e. ~P ( X \ S ) )
30	29	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ) -> x e. ~P ( X \ S ) )
31	30	elpwid 4170	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ) -> x C_ ( X \ S ) )
32	31	difss2d 3740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ) -> x C_ X )
33		simplr 792	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ) -> S C_ X )
34		ssconb 3743	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x C_ X /\ S C_ X ) -> ( x C_ ( X \ S ) <-> S C_ ( X \ x ) ) )
35	32, 33, 34	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ) -> ( x C_ ( X \ S ) <-> S C_ ( X \ x ) ) )
36	31, 35	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ) -> S C_ ( X \ x ) )
37	28, 36	jca 554	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ) -> ( ( X \ x ) e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ ( X \ x ) ) )
38		eleq1 2689	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( X \ x ) -> ( z e. ( Clsd ` J ) <-> ( X \ x ) e. ( Clsd ` J ) ) )
39		sseq2 3627	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( X \ x ) -> ( S C_ z <-> S C_ ( X \ x ) ) )
40	38, 39	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( X \ x ) -> ( ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) <-> ( ( X \ x ) e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ ( X \ x ) ) ) )
41	37, 40	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ) -> ( z = ( X \ x ) -> ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) ) )
42	41	rexlimdva 3031	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( E. x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) z = ( X \ x ) -> ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) ) )
43	23, 42	impbid 202	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) <-> E. x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) z = ( X \ x ) ) )
44	43	abbidv 2741	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> { z | ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) } = { z | E. x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) z = ( X \ x ) } )
45	1, 44	syl5eq 2668	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> { z e. ( Clsd ` J ) | S C_ z } = { z | E. x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) z = ( X \ x ) } )
46	45	inteqd 4480	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> |^| { z e. ( Clsd ` J ) | S C_ z } = |^| { z | E. x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) z = ( X \ x ) } )
47		difexg 4808	. . . . . . 7 |- ( X e. J -> ( X \ x ) e. _V )
48	47	ralrimivw 2967	. . . . . 6 |- ( X e. J -> A. x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ( X \ x ) e. _V )
49		dfiin2g 4553	. . . . . 6 |- ( A. x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ( X \ x ) e. _V -> |^|_ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ( X \ x ) = |^| { z | E. x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) z = ( X \ x ) } )
50	7, 48, 49	3syl 18	. . . . 5 |- ( J e. Top -> |^|_ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ( X \ x ) = |^| { z | E. x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) z = ( X \ x ) } )
51	50	adantr 481	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> |^|_ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ( X \ x ) = |^| { z | E. x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) z = ( X \ x ) } )
52	46, 51	eqtr4d 2659	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> |^| { z e. ( Clsd ` J ) | S C_ z } = |^|_ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ( X \ x ) )
53	2	clsval 20841	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) = |^| { z e. ( Clsd ` J ) | S C_ z } )
54		uniiun 4573	. . . . . 6 |- U. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) = U_ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) x
55	54	difeq2i 3725	. . . . 5 |- ( X \ U. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ) = ( X \ U_ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) x )
56	55	a1i 11	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( X \ U. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ) = ( X \ U_ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) x ) )
57		0opn 20709	. . . . . . 7 |- ( J e. Top -> (/) e. J )
58	57	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> (/) e. J )
59		0elpw 4834	. . . . . . 7 |- (/) e. ~P ( X \ S )
60	59	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> (/) e. ~P ( X \ S ) )
61	58, 60	elind 3798	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> (/) e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) )
62		ne0i 3921	. . . . 5 |- ( (/) e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) -> ( J i^i ~P ( X \ S ) ) =/= (/) )
63		iindif2 4589	. . . . 5 |- ( ( J i^i ~P ( X \ S ) ) =/= (/) -> |^|_ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ( X \ x ) = ( X \ U_ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) x ) )
64	61, 62, 63	3syl 18	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> |^|_ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ( X \ x ) = ( X \ U_ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) x ) )
65	56, 64	eqtr4d 2659	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( X \ U. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ) = |^|_ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ( X \ x ) )
66	52, 53, 65	3eqtr4d 2666	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) = ( X \ U. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ) )
67		difssd 3738	. . . 4 |- ( S C_ X -> ( X \ S ) C_ X )
68	2	ntrval 20840	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ ( X \ S ) C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` ( X \ S ) ) = U. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) )
69	67, 68	sylan2 491	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` ( X \ S ) ) = U. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) )
70	69	difeq2d 3728	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( X \ ( ( int ` J ) ` ( X \ S ) ) ) = ( X \ U. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ) )
71	66, 70	eqtr4d 2659	1 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) = ( X \ ( ( int ` J ) ` ( X \ S ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   |^|cint 4475   U_ciun 4520   |^|_ciin 4521   ` cfv 5888   Topctop 20698   Clsdccld 20820   intcnt 20821   clsccl 20822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-top 20699  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825

This theorem is referenced by:  ntrval2  20855  clsdif  20857  cmclsopn  20866  bcth3  23128