Theorem dfoi 8416

Description: Rewrite df-oi 8415 with abbreviations. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dfoi.1	|- C = { w e. A | A. j e. ran h j R w }
dfoi.2	|- G = ( h e. _V |-> ( iota_ v e. C A. u e. C -. u R v ) )
dfoi.3	|- F = recs ( G )

Assertion

Ref	Expression
dfoi	|- OrdIso ( R , A ) = if ( ( R We A /\ R Se A ) , ( F |` { x e. On | E. t e. A A. z e. ( F " x ) z R t } ) , (/) )

Distinct variable groups:   h, j, t, u, v, w, x, z, A   u, C, v   z, F   R, h, j, t, u, v, w, x, z

Allowed substitution hints:   C( x, z, w, t, h, j)   F( x, w, v, u, t, h, j)   G( x, z, w, v, u, t, h, j)

Proof of Theorem dfoi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-oi 8415	. 2 |- OrdIso ( R , A ) = if ( ( R We A /\ R Se A ) , (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) |` { x e. On | E. t e. A A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) " x ) z R t } ) , (/) )
2		dfoi.3	. . . . 5 |- F = recs ( G )
3		dfoi.2	. . . . . . 7 |- G = ( h e. _V |-> ( iota_ v e. C A. u e. C -. u R v ) )
4		dfoi.1	. . . . . . . . . 10 |- C = { w e. A | A. j e. ran h j R w }
5	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( h e. _V -> C = { w e. A | A. j e. ran h j R w } )
6	5	raleqdv 3144	. . . . . . . . 9 |- ( h e. _V -> ( A. u e. C -. u R v <-> A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) )
7	5, 6	riotaeqbidv 6614	. . . . . . . 8 |- ( h e. _V -> ( iota_ v e. C A. u e. C -. u R v ) = ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) )
8	7	mpteq2ia 4740	. . . . . . 7 |- ( h e. _V |-> ( iota_ v e. C A. u e. C -. u R v ) ) = ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) )
9	3, 8	eqtri 2644	. . . . . 6 |- G = ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) )
10		recseq 7470	. . . . . 6 |- ( G = ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) -> recs ( G ) = recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) )
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . 5 |- recs ( G ) = recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) )
12	2, 11	eqtri 2644	. . . 4 |- F = recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) )
13	12	imaeq1i 5463	. . . . . . . 8 |- ( F " x ) = (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) " x )
14	13	raleqi 3142	. . . . . . 7 |- ( A. z e. ( F " x ) z R t <-> A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) " x ) z R t )
15	14	rexbii 3041	. . . . . 6 |- ( E. t e. A A. z e. ( F " x ) z R t <-> E. t e. A A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) " x ) z R t )
16	15	a1i 11	. . . . 5 |- ( x e. On -> ( E. t e. A A. z e. ( F " x ) z R t <-> E. t e. A A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) " x ) z R t ) )
17	16	rabbiia 3185	. . . 4 |- { x e. On | E. t e. A A. z e. ( F " x ) z R t } = { x e. On | E. t e. A A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) " x ) z R t }
18	12, 17	reseq12i 5394	. . 3 |- ( F |` { x e. On | E. t e. A A. z e. ( F " x ) z R t } ) = (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) |` { x e. On | E. t e. A A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) " x ) z R t } )
19		ifeq1 4090	. . 3 |- ( ( F |` { x e. On | E. t e. A A. z e. ( F " x ) z R t } ) = (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) |` { x e. On | E. t e. A A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) " x ) z R t } ) -> if ( ( R We A /\ R Se A ) , ( F |` { x e. On | E. t e. A A. z e. ( F " x ) z R t } ) , (/) ) = if ( ( R We A /\ R Se A ) , (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) |` { x e. On | E. t e. A A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) " x ) z R t } ) , (/) ) )
20	18, 19	ax-mp 5	. 2 |- if ( ( R We A /\ R Se A ) , ( F |` { x e. On | E. t e. A A. z e. ( F " x ) z R t } ) , (/) ) = if ( ( R We A /\ R Se A ) , (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) |` { x e. On | E. t e. A A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) " x ) z R t } ) , (/) )
21	1, 20	eqtr4i 2647	1 |- OrdIso ( R , A ) = if ( ( R We A /\ R Se A ) , ( F |` { x e. On | E. t e. A A. z e. ( F " x ) z R t } ) , (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   (/)c0 3915   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   Se wse 5071   We wwe 5072   ran crn 5115   |` cres 5116   "cima 5117   Oncon0 5723   iota_crio 6610  recscrecs 7467  OrdIsocoi 8414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-xp 5120  df-cnv 5122  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-iota 5851  df-fv 5896  df-riota 6611  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-oi 8415

This theorem is referenced by:  ordtypelem1  8423