Theorem oieq1 8417

Description: Equality theorem for ordinal isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 23-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
oieq1	|- ( R = S -> OrdIso ( R , A ) = OrdIso ( S , A ) )

Proof of Theorem oieq1

Dummy variables h j t u v w x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		weeq1 5102	. . . 4 |- ( R = S -> ( R We A <-> S We A ) )
2		seeq1 5086	. . . 4 |- ( R = S -> ( R Se A <-> S Se A ) )
3	1, 2	anbi12d 747	. . 3 |- ( R = S -> ( ( R We A /\ R Se A ) <-> ( S We A /\ S Se A ) ) )
4		breq 4655	. . . . . . . . 9 |- ( R = S -> ( j R w <-> j S w ) )
5	4	ralbidv 2986	. . . . . . . 8 |- ( R = S -> ( A. j e. ran h j R w <-> A. j e. ran h j S w ) )
6	5	rabbidv 3189	. . . . . . 7 |- ( R = S -> { w e. A | A. j e. ran h j R w } = { w e. A | A. j e. ran h j S w } )
7		breq 4655	. . . . . . . . 9 |- ( R = S -> ( u R v <-> u S v ) )
8	7	notbid 308	. . . . . . . 8 |- ( R = S -> ( -. u R v <-> -. u S v ) )
9	6, 8	raleqbidv 3152	. . . . . . 7 |- ( R = S -> ( A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v <-> A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) )
10	6, 9	riotaeqbidv 6614	. . . . . 6 |- ( R = S -> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) = ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) )
11	10	mpteq2dv 4745	. . . . 5 |- ( R = S -> ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) = ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) ) )
12		recseq 7470	. . . . 5 |- ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) = ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) ) -> recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) = recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) ) ) )
13	11, 12	syl 17	. . . 4 |- ( R = S -> recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) = recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) ) ) )
14	13	imaeq1d 5465	. . . . . . 7 |- ( R = S -> (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) " x ) = (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) ) ) " x ) )
15		breq 4655	. . . . . . 7 |- ( R = S -> ( z R t <-> z S t ) )
16	14, 15	raleqbidv 3152	. . . . . 6 |- ( R = S -> ( A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) " x ) z R t <-> A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) ) ) " x ) z S t ) )
17	16	rexbidv 3052	. . . . 5 |- ( R = S -> ( E. t e. A A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) " x ) z R t <-> E. t e. A A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) ) ) " x ) z S t ) )
18	17	rabbidv 3189	. . . 4 |- ( R = S -> { x e. On | E. t e. A A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) " x ) z R t } = { x e. On | E. t e. A A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) ) ) " x ) z S t } )
19	13, 18	reseq12d 5397	. . 3 |- ( R = S -> (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) |` { x e. On | E. t e. A A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) " x ) z R t } ) = (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) ) ) |` { x e. On | E. t e. A A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) ) ) " x ) z S t } ) )
20	3, 19	ifbieq1d 4109	. 2 |- ( R = S -> if ( ( R We A /\ R Se A ) , (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) |` { x e. On | E. t e. A A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) " x ) z R t } ) , (/) ) = if ( ( S We A /\ S Se A ) , (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) ) ) |` { x e. On | E. t e. A A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) ) ) " x ) z S t } ) , (/) ) )
21		df-oi 8415	. 2 |- OrdIso ( R , A ) = if ( ( R We A /\ R Se A ) , (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) |` { x e. On | E. t e. A A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) " x ) z R t } ) , (/) )
22		df-oi 8415	. 2 |- OrdIso ( S , A ) = if ( ( S We A /\ S Se A ) , (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) ) ) |` { x e. On | E. t e. A A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j S w } -. u S v ) ) ) " x ) z S t } ) , (/) )
23	20, 21, 22	3eqtr4g 2681	1 |- ( R = S -> OrdIso ( R , A ) = OrdIso ( S , A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   (/)c0 3915   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   Se wse 5071   We wwe 5072   ran crn 5115   |` cres 5116   "cima 5117   Oncon0 5723   iota_crio 6610  recscrecs 7467  OrdIsocoi 8414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-cnv 5122  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-iota 5851  df-fv 5896  df-riota 6611  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-oi 8415

This theorem is referenced by:  hartogslem1  8447