Theorem djavalN 36424

Description: Subspace join for DVecA partial vector space. (Contributed by NM, 6-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
djaval.h	|- H = ( LHyp ` K )
djaval.t	|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
djaval.i	|- I = ( ( DIsoA ` K ) ` W )
djaval.n	|- ._|_ = ( ( ocA ` K ) ` W )
djaval.j	|- J = ( ( vA ` K ) ` W )

Assertion

Ref	Expression
djavalN	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X C_ T /\ Y C_ T ) ) -> ( X J Y ) = ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) i^i ( ._|_ ` Y ) ) ) )

Proof of Theorem djavalN

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djaval.h	. . . . 5 |- H = ( LHyp ` K )
2		djaval.t	. . . . 5 |- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
3		djaval.i	. . . . 5 |- I = ( ( DIsoA ` K ) ` W )
4		djaval.n	. . . . 5 |- ._|_ = ( ( ocA ` K ) ` W )
5		djaval.j	. . . . 5 |- J = ( ( vA ` K ) ` W )
6	1, 2, 3, 4, 5	djafvalN 36423	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> J = ( x e. ~P T , y e. ~P T |-> ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` x ) i^i ( ._|_ ` y ) ) ) ) )
7	6	adantr 481	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X C_ T /\ Y C_ T ) ) -> J = ( x e. ~P T , y e. ~P T |-> ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` x ) i^i ( ._|_ ` y ) ) ) ) )
8	7	oveqd 6667	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X C_ T /\ Y C_ T ) ) -> ( X J Y ) = ( X ( x e. ~P T , y e. ~P T |-> ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` x ) i^i ( ._|_ ` y ) ) ) ) Y ) )
9		fvex 6201	. . . . . . 7 |- ( ( LTrn ` K ) ` W ) e. _V
10	2, 9	eqeltri 2697	. . . . . 6 |- T e. _V
11	10	elpw2 4828	. . . . 5 |- ( X e. ~P T <-> X C_ T )
12	11	biimpri 218	. . . 4 |- ( X C_ T -> X e. ~P T )
13	12	ad2antrl 764	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X C_ T /\ Y C_ T ) ) -> X e. ~P T )
14	10	elpw2 4828	. . . . 5 |- ( Y e. ~P T <-> Y C_ T )
15	14	biimpri 218	. . . 4 |- ( Y C_ T -> Y e. ~P T )
16	15	ad2antll 765	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X C_ T /\ Y C_ T ) ) -> Y e. ~P T )
17		fvexd 6203	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X C_ T /\ Y C_ T ) ) -> ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) i^i ( ._|_ ` Y ) ) ) e. _V )
18		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( x = X -> ( ._|_ ` x ) = ( ._|_ ` X ) )
19	18	ineq1d 3813	. . . . 5 |- ( x = X -> ( ( ._|_ ` x ) i^i ( ._|_ ` y ) ) = ( ( ._|_ ` X ) i^i ( ._|_ ` y ) ) )
20	19	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( x = X -> ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` x ) i^i ( ._|_ ` y ) ) ) = ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) i^i ( ._|_ ` y ) ) ) )
21		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( y = Y -> ( ._|_ ` y ) = ( ._|_ ` Y ) )
22	21	ineq2d 3814	. . . . 5 |- ( y = Y -> ( ( ._|_ ` X ) i^i ( ._|_ ` y ) ) = ( ( ._|_ ` X ) i^i ( ._|_ ` Y ) ) )
23	22	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( y = Y -> ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) i^i ( ._|_ ` y ) ) ) = ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) i^i ( ._|_ ` Y ) ) ) )
24		eqid 2622	. . . 4 |- ( x e. ~P T , y e. ~P T |-> ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` x ) i^i ( ._|_ ` y ) ) ) ) = ( x e. ~P T , y e. ~P T |-> ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` x ) i^i ( ._|_ ` y ) ) ) )
25	20, 23, 24	ovmpt2g 6795	. . 3 |- ( ( X e. ~P T /\ Y e. ~P T /\ ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) i^i ( ._|_ ` Y ) ) ) e. _V ) -> ( X ( x e. ~P T , y e. ~P T |-> ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` x ) i^i ( ._|_ ` y ) ) ) ) Y ) = ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) i^i ( ._|_ ` Y ) ) ) )
26	13, 16, 17, 25	syl3anc 1326	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X C_ T /\ Y C_ T ) ) -> ( X ( x e. ~P T , y e. ~P T |-> ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` x ) i^i ( ._|_ ` y ) ) ) ) Y ) = ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) i^i ( ._|_ ` Y ) ) ) )
27	8, 26	eqtrd 2656	1 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X C_ T /\ Y C_ T ) ) -> ( X J Y ) = ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) i^i ( ._|_ ` Y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   HLchlt 34637   LHypclh 35270   LTrncltrn 35387   DIsoAcdia 36317   ocAcocaN 36408   vAcdjaN 36420

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-djaN 36421

This theorem is referenced by:  djaclN  36425  djajN  36426