Theorem elcnv 5299

Description: Membership in a converse. Equation 5 of [Suppes] p. 62. (Contributed by NM, 24-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
elcnv	|- ( A e. `' R <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ y R x ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, R, y

Proof of Theorem elcnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-cnv 5122	. . 3 |- `' R = { <. x , y >. | y R x }
2	1	eleq2i 2693	. 2 |- ( A e. `' R <-> A e. { <. x , y >. | y R x } )
3		elopab 4983	. 2 |- ( A e. { <. x , y >. | y R x } <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ y R x ) )
4	2, 3	bitri 264	1 |- ( A e. `' R <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ y R x ) )

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   <.cop 4183   class class class wbr 4653   {copab 4712   `'ccnv 5113

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-opab 4713  df-cnv 5122

This theorem is referenced by:  elcnv2  5300  gsummpt2co  29780