Theorem eleei 25777

Description: The forward direction of elee 25774. (Contributed by Scott Fenton, 1-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eleei	|- ( A e. ( EE ` N ) -> A : ( 1 ... N ) --> RR )

Proof of Theorem eleei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleenn 25776	. . 3 |- ( A e. ( EE ` N ) -> N e. NN )
2		elee 25774	. . 3 |- ( N e. NN -> ( A e. ( EE ` N ) <-> A : ( 1 ... N ) --> RR ) )
3	1, 2	syl 17	. 2 |- ( A e. ( EE ` N ) -> ( A e. ( EE ` N ) <-> A : ( 1 ... N ) --> RR ) )
4	3	ibi 256	1 |- ( A e. ( EE ` N ) -> A : ( 1 ... N ) --> RR )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   e. wcel 1990   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   1c1 9937   NNcn 11020   ...cfz 12326   EEcee 25768

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-ee 25771

This theorem is referenced by:  eedimeq  25778  fveere  25781  eqeefv  25783