Theorem eliunxp2 42112

Description: Membership in a union of Cartesian products over its second component, analogous to eliunxp 5259. (Contributed by AV, 30-Mar-2019.)

Assertion

Ref	Expression
eliunxp2	|- ( C e. U_ y e. B ( A X. { y } ) <-> E. x E. y ( C = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, y, C

Allowed substitution hints:   A( y)   B( y)

Proof of Theorem eliunxp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relxp 5227	. . . . . . . 8 |- Rel ( A X. { y } )
2	1	rgenw 2924	. . . . . . 7 |- A. y e. B Rel ( A X. { y } )
3		reliun 5239	. . . . . . 7 |- ( Rel U_ y e. B ( A X. { y } ) <-> A. y e. B Rel ( A X. { y } ) )
4	2, 3	mpbir 221	. . . . . 6 |- Rel U_ y e. B ( A X. { y } )
5		elrel 5222	. . . . . 6 |- ( ( Rel U_ y e. B ( A X. { y } ) /\ C e. U_ y e. B ( A X. { y } ) ) -> E. x E. y C = <. x , y >. )
6	4, 5	mpan 706	. . . . 5 |- ( C e. U_ y e. B ( A X. { y } ) -> E. x E. y C = <. x , y >. )
7		excom 2042	. . . . 5 |- ( E. y E. x C = <. x , y >. <-> E. x E. y C = <. x , y >. )
8	6, 7	sylibr 224	. . . 4 |- ( C e. U_ y e. B ( A X. { y } ) -> E. y E. x C = <. x , y >. )
9	8	pm4.71ri 665	. . 3 |- ( C e. U_ y e. B ( A X. { y } ) <-> ( E. y E. x C = <. x , y >. /\ C e. U_ y e. B ( A X. { y } ) ) )
10		nfiu1 4550	. . . . 5 |- F/_ y U_ y e. B ( A X. { y } )
11	10	nfel2 2781	. . . 4 |- F/ y C e. U_ y e. B ( A X. { y } )
12	11	19.41 2103	. . 3 |- ( E. y ( E. x C = <. x , y >. /\ C e. U_ y e. B ( A X. { y } ) ) <-> ( E. y E. x C = <. x , y >. /\ C e. U_ y e. B ( A X. { y } ) ) )
13		19.41v 1914	. . . . 5 |- ( E. x ( C = <. x , y >. /\ C e. U_ y e. B ( A X. { y } ) ) <-> ( E. x C = <. x , y >. /\ C e. U_ y e. B ( A X. { y } ) ) )
14		eleq1 2689	. . . . . . . 8 |- ( C = <. x , y >. -> ( C e. U_ y e. B ( A X. { y } ) <-> <. x , y >. e. U_ y e. B ( A X. { y } ) ) )
15		opeliun2xp 42111	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , y >. e. U_ y e. B ( A X. { y } ) <-> ( y e. B /\ x e. A ) )
16		ancom 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. B /\ x e. A ) <-> ( x e. A /\ y e. B ) )
17	15, 16	bitri 264	. . . . . . . 8 |- ( <. x , y >. e. U_ y e. B ( A X. { y } ) <-> ( x e. A /\ y e. B ) )
18	14, 17	syl6bb 276	. . . . . . 7 |- ( C = <. x , y >. -> ( C e. U_ y e. B ( A X. { y } ) <-> ( x e. A /\ y e. B ) ) )
19	18	pm5.32i 669	. . . . . 6 |- ( ( C = <. x , y >. /\ C e. U_ y e. B ( A X. { y } ) ) <-> ( C = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) )
20	19	exbii 1774	. . . . 5 |- ( E. x ( C = <. x , y >. /\ C e. U_ y e. B ( A X. { y } ) ) <-> E. x ( C = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) )
21	13, 20	bitr3i 266	. . . 4 |- ( ( E. x C = <. x , y >. /\ C e. U_ y e. B ( A X. { y } ) ) <-> E. x ( C = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) )
22	21	exbii 1774	. . 3 |- ( E. y ( E. x C = <. x , y >. /\ C e. U_ y e. B ( A X. { y } ) ) <-> E. y E. x ( C = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) )
23	9, 12, 22	3bitr2i 288	. 2 |- ( C e. U_ y e. B ( A X. { y } ) <-> E. y E. x ( C = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) )
24		excom 2042	. 2 |- ( E. y E. x ( C = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) <-> E. x E. y ( C = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) )
25	23, 24	bitri 264	1 |- ( C e. U_ y e. B ( A X. { y } ) <-> E. x E. y ( C = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) )

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   {csn 4177   <.cop 4183   U_ciun 4520   X. cxp 5112   Rel wrel 5119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-iun 4522  df-opab 4713  df-xp 5120  df-rel 5121

This theorem is referenced by:  mpt2mptx2  42113