Theorem opeliun2xp 42111

Description: Membership of an ordered pair in a union of Cartesian products over its second component, analogous to opeliunxp 5170. (Contributed by AV, 30-Mar-2019.)

Assertion

Ref	Expression
opeliun2xp	|- ( <. C , y >. e. U_ y e. B ( A X. { y } ) <-> ( y e. B /\ C e. A ) )

Proof of Theorem opeliun2xp

Dummy variables x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-iun 4522	. . 3 |- U_ y e. B ( A X. { y } ) = { x | E. y e. B x e. ( A X. { y } ) }
2	1	eleq2i 2693	. 2 |- ( <. C , y >. e. U_ y e. B ( A X. { y } ) <-> <. C , y >. e. { x | E. y e. B x e. ( A X. { y } ) } )
3		opex 4932	. . 3 |- <. C , y >. e. _V
4		df-rex 2918	. . . . 5 |- ( E. y e. B x e. ( A X. { y } ) <-> E. y ( y e. B /\ x e. ( A X. { y } ) ) )
5		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ z ( y e. B /\ x e. ( A X. { y } ) )
6		nfs1v 2437	. . . . . . 7 |- F/ y [ z / y ] y e. B
7		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . 9 |- F/_ y [_ z / y ]_ A
8		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ y { z }
9	7, 8	nfxp 5142	. . . . . . . 8 |- F/_ y ( [_ z / y ]_ A X. { z } )
10	9	nfcri 2758	. . . . . . 7 |- F/ y x e. ( [_ z / y ]_ A X. { z } )
11	6, 10	nfan 1828	. . . . . 6 |- F/ y ( [ z / y ] y e. B /\ x e. ( [_ z / y ]_ A X. { z } ) )
12		sbequ12 2111	. . . . . . 7 |- ( y = z -> ( y e. B <-> [ z / y ] y e. B ) )
13		csbeq1a 3542	. . . . . . . . 9 |- ( y = z -> A = [_ z / y ]_ A )
14		sneq 4187	. . . . . . . . 9 |- ( y = z -> { y } = { z } )
15	13, 14	xpeq12d 5140	. . . . . . . 8 |- ( y = z -> ( A X. { y } ) = ( [_ z / y ]_ A X. { z } ) )
16	15	eleq2d 2687	. . . . . . 7 |- ( y = z -> ( x e. ( A X. { y } ) <-> x e. ( [_ z / y ]_ A X. { z } ) ) )
17	12, 16	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( y = z -> ( ( y e. B /\ x e. ( A X. { y } ) ) <-> ( [ z / y ] y e. B /\ x e. ( [_ z / y ]_ A X. { z } ) ) ) )
18	5, 11, 17	cbvex 2272	. . . . 5 |- ( E. y ( y e. B /\ x e. ( A X. { y } ) ) <-> E. z ( [ z / y ] y e. B /\ x e. ( [_ z / y ]_ A X. { z } ) ) )
19	4, 18	bitri 264	. . . 4 |- ( E. y e. B x e. ( A X. { y } ) <-> E. z ( [ z / y ] y e. B /\ x e. ( [_ z / y ]_ A X. { z } ) ) )
20		eleq1 2689	. . . . . 6 |- ( x = <. C , y >. -> ( x e. ( [_ z / y ]_ A X. { z } ) <-> <. C , y >. e. ( [_ z / y ]_ A X. { z } ) ) )
21	20	anbi2d 740	. . . . 5 |- ( x = <. C , y >. -> ( ( [ z / y ] y e. B /\ x e. ( [_ z / y ]_ A X. { z } ) ) <-> ( [ z / y ] y e. B /\ <. C , y >. e. ( [_ z / y ]_ A X. { z } ) ) ) )
22	21	exbidv 1850	. . . 4 |- ( x = <. C , y >. -> ( E. z ( [ z / y ] y e. B /\ x e. ( [_ z / y ]_ A X. { z } ) ) <-> E. z ( [ z / y ] y e. B /\ <. C , y >. e. ( [_ z / y ]_ A X. { z } ) ) ) )
23	19, 22	syl5bb 272	. . 3 |- ( x = <. C , y >. -> ( E. y e. B x e. ( A X. { y } ) <-> E. z ( [ z / y ] y e. B /\ <. C , y >. e. ( [_ z / y ]_ A X. { z } ) ) ) )
24	3, 23	elab 3350	. 2 |- ( <. C , y >. e. { x | E. y e. B x e. ( A X. { y } ) } <-> E. z ( [ z / y ] y e. B /\ <. C , y >. e. ( [_ z / y ]_ A X. { z } ) ) )
25		opelxp 5146	. . . . . 6 |- ( <. C , y >. e. ( [_ z / y ]_ A X. { z } ) <-> ( C e. [_ z / y ]_ A /\ y e. { z } ) )
26	25	anbi2i 730	. . . . 5 |- ( ( [ z / y ] y e. B /\ <. C , y >. e. ( [_ z / y ]_ A X. { z } ) ) <-> ( [ z / y ] y e. B /\ ( C e. [_ z / y ]_ A /\ y e. { z } ) ) )
27		an13 840	. . . . . 6 |- ( ( [ z / y ] y e. B /\ ( C e. [_ z / y ]_ A /\ y e. { z } ) ) <-> ( y e. { z } /\ ( C e. [_ z / y ]_ A /\ [ z / y ] y e. B ) ) )
28		ancom 466	. . . . . . 7 |- ( ( C e. [_ z / y ]_ A /\ [ z / y ] y e. B ) <-> ( [ z / y ] y e. B /\ C e. [_ z / y ]_ A ) )
29	28	anbi2i 730	. . . . . 6 |- ( ( y e. { z } /\ ( C e. [_ z / y ]_ A /\ [ z / y ] y e. B ) ) <-> ( y e. { z } /\ ( [ z / y ] y e. B /\ C e. [_ z / y ]_ A ) ) )
30	27, 29	bitri 264	. . . . 5 |- ( ( [ z / y ] y e. B /\ ( C e. [_ z / y ]_ A /\ y e. { z } ) ) <-> ( y e. { z } /\ ( [ z / y ] y e. B /\ C e. [_ z / y ]_ A ) ) )
31		velsn 4193	. . . . . . 7 |- ( y e. { z } <-> y = z )
32		equcom 1945	. . . . . . 7 |- ( y = z <-> z = y )
33	31, 32	bitri 264	. . . . . 6 |- ( y e. { z } <-> z = y )
34	33	anbi1i 731	. . . . 5 |- ( ( y e. { z } /\ ( [ z / y ] y e. B /\ C e. [_ z / y ]_ A ) ) <-> ( z = y /\ ( [ z / y ] y e. B /\ C e. [_ z / y ]_ A ) ) )
35	26, 30, 34	3bitri 286	. . . 4 |- ( ( [ z / y ] y e. B /\ <. C , y >. e. ( [_ z / y ]_ A X. { z } ) ) <-> ( z = y /\ ( [ z / y ] y e. B /\ C e. [_ z / y ]_ A ) ) )
36	35	exbii 1774	. . 3 |- ( E. z ( [ z / y ] y e. B /\ <. C , y >. e. ( [_ z / y ]_ A X. { z } ) ) <-> E. z ( z = y /\ ( [ z / y ] y e. B /\ C e. [_ z / y ]_ A ) ) )
37		vex 3203	. . . 4 |- y e. _V
38		sbequ12r 2112	. . . . 5 |- ( z = y -> ( [ z / y ] y e. B <-> y e. B ) )
39	13	equcoms 1947	. . . . . . 7 |- ( z = y -> A = [_ z / y ]_ A )
40	39	eqcomd 2628	. . . . . 6 |- ( z = y -> [_ z / y ]_ A = A )
41	40	eleq2d 2687	. . . . 5 |- ( z = y -> ( C e. [_ z / y ]_ A <-> C e. A ) )
42	38, 41	anbi12d 747	. . . 4 |- ( z = y -> ( ( [ z / y ] y e. B /\ C e. [_ z / y ]_ A ) <-> ( y e. B /\ C e. A ) ) )
43	37, 42	ceqsexv 3242	. . 3 |- ( E. z ( z = y /\ ( [ z / y ] y e. B /\ C e. [_ z / y ]_ A ) ) <-> ( y e. B /\ C e. A ) )
44	36, 43	bitri 264	. 2 |- ( E. z ( [ z / y ] y e. B /\ <. C , y >. e. ( [_ z / y ]_ A X. { z } ) ) <-> ( y e. B /\ C e. A ) )
45	2, 24, 44	3bitri 286	1 |- ( <. C , y >. e. U_ y e. B ( A X. { y } ) <-> ( y e. B /\ C e. A ) )

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   [wsb 1880   e. wcel 1990   {cab 2608   E.wrex 2913   [_csb 3533   {csn 4177   <.cop 4183   U_ciun 4520   X. cxp 5112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-iun 4522  df-opab 4713  df-xp 5120

This theorem is referenced by:  eliunxp2  42112