Theorem elovmpt3rab1 6893

Description: Implications for the value of an operation defined by the maps-to notation with a function into a class abstraction as a result having an element. The domain of the function and the base set of the class abstraction may depend on the operands, using implicit substitution. (Contributed by AV, 16-Jul-2018.) (Revised by AV, 16-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovmpt3rab1.o	|- O = ( x e. _V , y e. _V |-> ( z e. M |-> { a e. N | ph } ) )
ovmpt3rab1.m	|- ( ( x = X /\ y = Y ) -> M = K )
ovmpt3rab1.n	|- ( ( x = X /\ y = Y ) -> N = L )

Assertion

Ref	Expression
elovmpt3rab1	|- ( ( K e. U /\ L e. T ) -> ( A e. ( ( X O Y ) ` Z ) -> ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) /\ ( Z e. K /\ A e. L ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, K, y, z   L, a, x, y   N, a   x, U, y   X, a, x, y, z   Y, a, x, y, z   z, L   z, T   z, U   A, a   Z, a, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, a)   A( x, y, z)   T( x, y, a)   U( a)   K( a)   M( x, y, z, a)   N( x, y, z)   O( x, y, z, a)   Z( x, y)

Proof of Theorem elovmpt3rab1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovmpt3rab1.o	. . . 4 |- O = ( x e. _V , y e. _V |-> ( z e. M |-> { a e. N | ph } ) )
2	1	elovmpt3imp 6890	. . 3 |- ( A e. ( ( X O Y ) ` Z ) -> ( X e. _V /\ Y e. _V ) )
3		simprl 794	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ( X O Y ) ` Z ) /\ ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) /\ ( K e. U /\ L e. T ) ) ) -> ( X e. _V /\ Y e. _V ) )
4		elfvdm 6220	. . . . . . 7 |- ( A e. ( ( X O Y ) ` Z ) -> Z e. dom ( X O Y ) )
5		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> X e. _V )
6	5	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) /\ ( K e. U /\ L e. T ) ) -> X e. _V )
7		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) /\ ( K e. U /\ L e. T ) ) -> Y e. _V )
8		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) /\ ( K e. U /\ L e. T ) ) -> K e. U )
9		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) /\ ( K e. U /\ L e. T ) ) -> L e. T )
10		ovmpt3rab1.m	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x = X /\ y = Y ) -> M = K )
11		ovmpt3rab1.n	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x = X /\ y = Y ) -> N = L )
12	1, 10, 11	ovmpt3rabdm 6892	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. _V /\ Y e. _V /\ K e. U ) /\ L e. T ) -> dom ( X O Y ) = K )
13	6, 7, 8, 9, 12	syl31anc 1329	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) /\ ( K e. U /\ L e. T ) ) -> dom ( X O Y ) = K )
14	13	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) /\ ( K e. U /\ L e. T ) ) -> ( Z e. dom ( X O Y ) <-> Z e. K ) )
15	14	biimpcd 239	. . . . . . . . . . 11 |- ( Z e. dom ( X O Y ) -> ( ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) /\ ( K e. U /\ L e. T ) ) -> Z e. K ) )
16	15	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Z e. dom ( X O Y ) /\ A e. ( ( X O Y ) ` Z ) ) -> ( ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) /\ ( K e. U /\ L e. T ) ) -> Z e. K ) )
17	16	imp 445	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( Z e. dom ( X O Y ) /\ A e. ( ( X O Y ) ` Z ) ) /\ ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) /\ ( K e. U /\ L e. T ) ) ) -> Z e. K )
18		simpl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Z e. K /\ ( ( Z e. dom ( X O Y ) /\ A e. ( ( X O Y ) ` Z ) ) /\ ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) /\ ( K e. U /\ L e. T ) ) ) ) -> Z e. K )
19		simplr 792	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( Z e. dom ( X O Y ) /\ A e. ( ( X O Y ) ` Z ) ) /\ ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) /\ ( K e. U /\ L e. T ) ) ) -> A e. ( ( X O Y ) ` Z ) )
20	19	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Z e. K /\ ( ( Z e. dom ( X O Y ) /\ A e. ( ( X O Y ) ` Z ) ) /\ ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) /\ ( K e. U /\ L e. T ) ) ) ) -> A e. ( ( X O Y ) ` Z ) )
21		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( K e. U /\ L e. T ) -> K e. U )
22	21	anim2i 593	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) /\ ( K e. U /\ L e. T ) ) -> ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) /\ K e. U ) )
23		df-3an 1039	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V /\ K e. U ) <-> ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) /\ K e. U ) )
24	22, 23	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) /\ ( K e. U /\ L e. T ) ) -> ( X e. _V /\ Y e. _V /\ K e. U ) )
25	24	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Z e. K /\ ( ( Z e. dom ( X O Y ) /\ A e. ( ( X O Y ) ` Z ) ) /\ ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) /\ ( K e. U /\ L e. T ) ) ) ) -> ( X e. _V /\ Y e. _V /\ K e. U ) )
26		sbceq1a 3446	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = Y -> ( ph <-> [. Y / y ]. ph ) )
27		sbceq1a 3446	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = X -> ( [. Y / y ]. ph <-> [. X / x ]. [. Y / y ]. ph ) )
28	26, 27	sylan9bbr 737	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x = X /\ y = Y ) -> ( ph <-> [. X / x ]. [. Y / y ]. ph ) )
29		nfsbc1v 3455	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ x [. X / x ]. [. Y / y ]. ph
30		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ y X
31		nfsbc1v 3455	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ y [. Y / y ]. ph
32	30, 31	nfsbc 3457	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ y [. X / x ]. [. Y / y ]. ph
33	1, 10, 11, 28, 29, 32	ovmpt3rab1 6891	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V /\ K e. U ) -> ( X O Y ) = ( z e. K |-> { a e. L | [. X / x ]. [. Y / y ]. ph } ) )
34	33	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V /\ K e. U ) -> ( ( X O Y ) ` Z ) = ( ( z e. K |-> { a e. L | [. X / x ]. [. Y / y ]. ph } ) ` Z ) )
35	25, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Z e. K /\ ( ( Z e. dom ( X O Y ) /\ A e. ( ( X O Y ) ` Z ) ) /\ ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) /\ ( K e. U /\ L e. T ) ) ) ) -> ( ( X O Y ) ` Z ) = ( ( z e. K |-> { a e. L | [. X / x ]. [. Y / y ]. ph } ) ` Z ) )
36		rabexg 4812	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( L e. T -> { a e. L | [. Z / z ]. [. X / x ]. [. Y / y ]. ph } e. _V )
37	36	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. U /\ L e. T ) -> { a e. L | [. Z / z ]. [. X / x ]. [. Y / y ]. ph } e. _V )
38	37	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( Z e. dom ( X O Y ) /\ A e. ( ( X O Y ) ` Z ) ) /\ ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) /\ ( K e. U /\ L e. T ) ) ) -> { a e. L | [. Z / z ]. [. X / x ]. [. Y / y ]. ph } e. _V )
39		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ z Z
40		nfsbc1v 3455	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ z [. Z / z ]. [. X / x ]. [. Y / y ]. ph
41		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ z L
42	40, 41	nfrab 3123	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ z { a e. L | [. Z / z ]. [. X / x ]. [. Y / y ]. ph }
43		sbceq1a 3446	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = Z -> ( [. X / x ]. [. Y / y ]. ph <-> [. Z / z ]. [. X / x ]. [. Y / y ]. ph ) )
44	43	rabbidv 3189	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = Z -> { a e. L | [. X / x ]. [. Y / y ]. ph } = { a e. L | [. Z / z ]. [. X / x ]. [. Y / y ]. ph } )
45		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. K |-> { a e. L | [. X / x ]. [. Y / y ]. ph } ) = ( z e. K |-> { a e. L | [. X / x ]. [. Y / y ]. ph } )
46	39, 42, 44, 45	fvmptf 6301	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Z e. K /\ { a e. L | [. Z / z ]. [. X / x ]. [. Y / y ]. ph } e. _V ) -> ( ( z e. K |-> { a e. L | [. X / x ]. [. Y / y ]. ph } ) ` Z ) = { a e. L | [. Z / z ]. [. X / x ]. [. Y / y ]. ph } )
47	38, 46	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Z e. K /\ ( ( Z e. dom ( X O Y ) /\ A e. ( ( X O Y ) ` Z ) ) /\ ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) /\ ( K e. U /\ L e. T ) ) ) ) -> ( ( z e. K |-> { a e. L | [. X / x ]. [. Y / y ]. ph } ) ` Z ) = { a e. L | [. Z / z ]. [. X / x ]. [. Y / y ]. ph } )
48	35, 47	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Z e. K /\ ( ( Z e. dom ( X O Y ) /\ A e. ( ( X O Y ) ` Z ) ) /\ ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) /\ ( K e. U /\ L e. T ) ) ) ) -> { a e. L | [. Z / z ]. [. X / x ]. [. Y / y ]. ph } = ( ( X O Y ) ` Z ) )
49	20, 48	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Z e. K /\ ( ( Z e. dom ( X O Y ) /\ A e. ( ( X O Y ) ` Z ) ) /\ ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) /\ ( K e. U /\ L e. T ) ) ) ) -> A e. { a e. L | [. Z / z ]. [. X / x ]. [. Y / y ]. ph } )
50		elrabi 3359	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. { a e. L | [. Z / z ]. [. X / x ]. [. Y / y ]. ph } -> A e. L )
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Z e. K /\ ( ( Z e. dom ( X O Y ) /\ A e. ( ( X O Y ) ` Z ) ) /\ ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) /\ ( K e. U /\ L e. T ) ) ) ) -> A e. L )
52	18, 51	jca 554	. . . . . . . . 9 |- ( ( Z e. K /\ ( ( Z e. dom ( X O Y ) /\ A e. ( ( X O Y ) ` Z ) ) /\ ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) /\ ( K e. U /\ L e. T ) ) ) ) -> ( Z e. K /\ A e. L ) )
53	17, 52	mpancom 703	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Z e. dom ( X O Y ) /\ A e. ( ( X O Y ) ` Z ) ) /\ ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) /\ ( K e. U /\ L e. T ) ) ) -> ( Z e. K /\ A e. L ) )
54	53	exp31 630	. . . . . . 7 |- ( Z e. dom ( X O Y ) -> ( A e. ( ( X O Y ) ` Z ) -> ( ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) /\ ( K e. U /\ L e. T ) ) -> ( Z e. K /\ A e. L ) ) ) )
55	4, 54	mpcom 38	. . . . . 6 |- ( A e. ( ( X O Y ) ` Z ) -> ( ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) /\ ( K e. U /\ L e. T ) ) -> ( Z e. K /\ A e. L ) ) )
56	55	imp 445	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ( X O Y ) ` Z ) /\ ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) /\ ( K e. U /\ L e. T ) ) ) -> ( Z e. K /\ A e. L ) )
57	3, 56	jca 554	. . . 4 |- ( ( A e. ( ( X O Y ) ` Z ) /\ ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) /\ ( K e. U /\ L e. T ) ) ) -> ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) /\ ( Z e. K /\ A e. L ) ) )
58	57	exp32 631	. . 3 |- ( A e. ( ( X O Y ) ` Z ) -> ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> ( ( K e. U /\ L e. T ) -> ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) /\ ( Z e. K /\ A e. L ) ) ) ) )
59	2, 58	mpd 15	. 2 |- ( A e. ( ( X O Y ) ` Z ) -> ( ( K e. U /\ L e. T ) -> ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) /\ ( Z e. K /\ A e. L ) ) ) )
60	59	com12 32	1 |- ( ( K e. U /\ L e. T ) -> ( A e. ( ( X O Y ) ` Z ) -> ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) /\ ( Z e. K /\ A e. L ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   _Vcvv 3200   [.wsbc 3435   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655

This theorem is referenced by:  elovmpt3rab  6894  elovmptnn0wrd  13348