Theorem eltsk2g 9573

Description: Properties of a Tarski class. (Contributed by FL, 30-Dec-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
eltsk2g	|- ( T e. V -> ( T e. Tarski <-> ( A. z e. T ( ~P z C_ T /\ ~P z e. T ) /\ A. z e. ~P T ( z ~~ T \/ z e. T ) ) ) )

Distinct variable group:   z, T

Allowed substitution hint:   V( z)

Proof of Theorem eltsk2g

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eltskg 9572	. 2 |- ( T e. V -> ( T e. Tarski <-> ( A. z e. T ( ~P z C_ T /\ E. w e. T ~P z C_ w ) /\ A. z e. ~P T ( z ~~ T \/ z e. T ) ) ) )
2		nfra1 2941	. . . . . . 7 |- F/ z A. z e. T ~P z C_ T
3		pweq 4161	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = w -> ~P z = ~P w )
4	3	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = w -> ( ~P z C_ T <-> ~P w C_ T ) )
5	4	rspccva 3308	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. z e. T ~P z C_ T /\ w e. T ) -> ~P w C_ T )
6	5	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. z e. T ~P z C_ T /\ z e. T ) /\ w e. T ) -> ~P w C_ T )
7		vpwex 4849	. . . . . . . . . . 11 |- ~P z e. _V
8	7	elpw 4164	. . . . . . . . . 10 |- ( ~P z e. ~P w <-> ~P z C_ w )
9		ssel 3597	. . . . . . . . . 10 |- ( ~P w C_ T -> ( ~P z e. ~P w -> ~P z e. T ) )
10	8, 9	syl5bir 233	. . . . . . . . 9 |- ( ~P w C_ T -> ( ~P z C_ w -> ~P z e. T ) )
11	6, 10	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. z e. T ~P z C_ T /\ z e. T ) /\ w e. T ) -> ( ~P z C_ w -> ~P z e. T ) )
12	11	rexlimdva 3031	. . . . . . 7 |- ( ( A. z e. T ~P z C_ T /\ z e. T ) -> ( E. w e. T ~P z C_ w -> ~P z e. T ) )
13	2, 12	ralimdaa 2958	. . . . . 6 |- ( A. z e. T ~P z C_ T -> ( A. z e. T E. w e. T ~P z C_ w -> A. z e. T ~P z e. T ) )
14	13	imdistani 726	. . . . 5 |- ( ( A. z e. T ~P z C_ T /\ A. z e. T E. w e. T ~P z C_ w ) -> ( A. z e. T ~P z C_ T /\ A. z e. T ~P z e. T ) )
15		r19.26 3064	. . . . 5 |- ( A. z e. T ( ~P z C_ T /\ E. w e. T ~P z C_ w ) <-> ( A. z e. T ~P z C_ T /\ A. z e. T E. w e. T ~P z C_ w ) )
16		r19.26 3064	. . . . 5 |- ( A. z e. T ( ~P z C_ T /\ ~P z e. T ) <-> ( A. z e. T ~P z C_ T /\ A. z e. T ~P z e. T ) )
17	14, 15, 16	3imtr4i 281	. . . 4 |- ( A. z e. T ( ~P z C_ T /\ E. w e. T ~P z C_ w ) -> A. z e. T ( ~P z C_ T /\ ~P z e. T ) )
18		ssid 3624	. . . . . . 7 |- ~P z C_ ~P z
19		sseq2 3627	. . . . . . . 8 |- ( w = ~P z -> ( ~P z C_ w <-> ~P z C_ ~P z ) )
20	19	rspcev 3309	. . . . . . 7 |- ( ( ~P z e. T /\ ~P z C_ ~P z ) -> E. w e. T ~P z C_ w )
21	18, 20	mpan2 707	. . . . . 6 |- ( ~P z e. T -> E. w e. T ~P z C_ w )
22	21	anim2i 593	. . . . 5 |- ( ( ~P z C_ T /\ ~P z e. T ) -> ( ~P z C_ T /\ E. w e. T ~P z C_ w ) )
23	22	ralimi 2952	. . . 4 |- ( A. z e. T ( ~P z C_ T /\ ~P z e. T ) -> A. z e. T ( ~P z C_ T /\ E. w e. T ~P z C_ w ) )
24	17, 23	impbii 199	. . 3 |- ( A. z e. T ( ~P z C_ T /\ E. w e. T ~P z C_ w ) <-> A. z e. T ( ~P z C_ T /\ ~P z e. T ) )
25	24	anbi1i 731	. 2 |- ( ( A. z e. T ( ~P z C_ T /\ E. w e. T ~P z C_ w ) /\ A. z e. ~P T ( z ~~ T \/ z e. T ) ) <-> ( A. z e. T ( ~P z C_ T /\ ~P z e. T ) /\ A. z e. ~P T ( z ~~ T \/ z e. T ) ) )
26	1, 25	syl6bb 276	1 |- ( T e. V -> ( T e. Tarski <-> ( A. z e. T ( ~P z C_ T /\ ~P z e. T ) /\ A. z e. ~P T ( z ~~ T \/ z e. T ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   ~~ cen 7952   Tarskictsk 9570

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-pow 4843

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-tsk 9571

This theorem is referenced by:  tskpw  9575  0tsk  9577  inttsk  9596  inatsk  9600