Theorem inatsk 9600

Description: ( R1 ` A ) for A a strongly inaccessible cardinal is a Tarski class. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
inatsk	|- ( A e. Inacc -> ( R1 ` A ) e. Tarski )

Proof of Theorem inatsk

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inawina 9512	. . . . . 6 |- ( A e. Inacc -> A e. InaccW )
2		winaon 9510	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. InaccW -> A e. On )
3		winalim 9517	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. InaccW -> Lim A )
4		r1lim 8635	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. On /\ Lim A ) -> ( R1 ` A ) = U_ y e. A ( R1 ` y ) )
5	2, 3, 4	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( A e. InaccW -> ( R1 ` A ) = U_ y e. A ( R1 ` y ) )
6	5	eleq2d 2687	. . . . . . . 8 |- ( A e. InaccW -> ( x e. ( R1 ` A ) <-> x e. U_ y e. A ( R1 ` y ) ) )
7		eliun 4524	. . . . . . . 8 |- ( x e. U_ y e. A ( R1 ` y ) <-> E. y e. A x e. ( R1 ` y ) )
8	6, 7	syl6bb 276	. . . . . . 7 |- ( A e. InaccW -> ( x e. ( R1 ` A ) <-> E. y e. A x e. ( R1 ` y ) ) )
9		onelon 5748	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. On /\ y e. A ) -> y e. On )
10	2, 9	sylan 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. InaccW /\ y e. A ) -> y e. On )
11		r1pw 8708	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. On -> ( x e. ( R1 ` y ) <-> ~P x e. ( R1 ` suc y ) ) )
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. InaccW /\ y e. A ) -> ( x e. ( R1 ` y ) <-> ~P x e. ( R1 ` suc y ) ) )
13		limsuc 7049	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Lim A -> ( y e. A <-> suc y e. A ) )
14	3, 13	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. InaccW -> ( y e. A <-> suc y e. A ) )
15		r1ord2 8644	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. On -> ( suc y e. A -> ( R1 ` suc y ) C_ ( R1 ` A ) ) )
16	2, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. InaccW -> ( suc y e. A -> ( R1 ` suc y ) C_ ( R1 ` A ) ) )
17	14, 16	sylbid 230	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. InaccW -> ( y e. A -> ( R1 ` suc y ) C_ ( R1 ` A ) ) )
18	17	imp 445	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. InaccW /\ y e. A ) -> ( R1 ` suc y ) C_ ( R1 ` A ) )
19	18	sseld 3602	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. InaccW /\ y e. A ) -> ( ~P x e. ( R1 ` suc y ) -> ~P x e. ( R1 ` A ) ) )
20	12, 19	sylbid 230	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. InaccW /\ y e. A ) -> ( x e. ( R1 ` y ) -> ~P x e. ( R1 ` A ) ) )
21	20	rexlimdva 3031	. . . . . . 7 |- ( A e. InaccW -> ( E. y e. A x e. ( R1 ` y ) -> ~P x e. ( R1 ` A ) ) )
22	8, 21	sylbid 230	. . . . . 6 |- ( A e. InaccW -> ( x e. ( R1 ` A ) -> ~P x e. ( R1 ` A ) ) )
23	1, 22	syl 17	. . . . 5 |- ( A e. Inacc -> ( x e. ( R1 ` A ) -> ~P x e. ( R1 ` A ) ) )
24	23	imp 445	. . . 4 |- ( ( A e. Inacc /\ x e. ( R1 ` A ) ) -> ~P x e. ( R1 ` A ) )
25		elssuni 4467	. . . . 5 |- ( ~P x e. ( R1 ` A ) -> ~P x C_ U. ( R1 ` A ) )
26		r1tr2 8640	. . . . 5 |- U. ( R1 ` A ) C_ ( R1 ` A )
27	25, 26	syl6ss 3615	. . . 4 |- ( ~P x e. ( R1 ` A ) -> ~P x C_ ( R1 ` A ) )
28	24, 27	jccil 563	. . 3 |- ( ( A e. Inacc /\ x e. ( R1 ` A ) ) -> ( ~P x C_ ( R1 ` A ) /\ ~P x e. ( R1 ` A ) ) )
29	28	ralrimiva 2966	. 2 |- ( A e. Inacc -> A. x e. ( R1 ` A ) ( ~P x C_ ( R1 ` A ) /\ ~P x e. ( R1 ` A ) ) )
30	1, 2	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( A e. Inacc -> A e. On )
31		r1suc 8633	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. On -> ( R1 ` suc A ) = ~P ( R1 ` A ) )
32	31	eleq2d 2687	. . . . . . . . 9 |- ( A e. On -> ( x e. ( R1 ` suc A ) <-> x e. ~P ( R1 ` A ) ) )
33	30, 32	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( A e. Inacc -> ( x e. ( R1 ` suc A ) <-> x e. ~P ( R1 ` A ) ) )
34		rankr1ai 8661	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( R1 ` suc A ) -> ( rank ` x ) e. suc A )
35	33, 34	syl6bir 244	. . . . . . 7 |- ( A e. Inacc -> ( x e. ~P ( R1 ` A ) -> ( rank ` x ) e. suc A ) )
36	35	imp 445	. . . . . 6 |- ( ( A e. Inacc /\ x e. ~P ( R1 ` A ) ) -> ( rank ` x ) e. suc A )
37		fvex 6201	. . . . . . 7 |- ( rank ` x ) e. _V
38	37	elsuc 5794	. . . . . 6 |- ( ( rank ` x ) e. suc A <-> ( ( rank ` x ) e. A \/ ( rank ` x ) = A ) )
39	36, 38	sylib 208	. . . . 5 |- ( ( A e. Inacc /\ x e. ~P ( R1 ` A ) ) -> ( ( rank ` x ) e. A \/ ( rank ` x ) = A ) )
40	39	orcomd 403	. . . 4 |- ( ( A e. Inacc /\ x e. ~P ( R1 ` A ) ) -> ( ( rank ` x ) = A \/ ( rank ` x ) e. A ) )
41		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- ( R1 ` A ) e. _V
42		elpwi 4168	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ~P ( R1 ` A ) -> x C_ ( R1 ` A ) )
43	42	ad2antlr 763	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. Inacc /\ x e. ~P ( R1 ` A ) ) /\ ( rank ` x ) = A ) -> x C_ ( R1 ` A ) )
44		ssdomg 8001	. . . . . . . 8 |- ( ( R1 ` A ) e. _V -> ( x C_ ( R1 ` A ) -> x ~<_ ( R1 ` A ) ) )
45	41, 43, 44	mpsyl 68	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Inacc /\ x e. ~P ( R1 ` A ) ) /\ ( rank ` x ) = A ) -> x ~<_ ( R1 ` A ) )
46		rankcf 9599	. . . . . . . . . 10 |- -. x ~< ( cf ` ( rank ` x ) )
47		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( rank ` x ) = A -> ( cf ` ( rank ` x ) ) = ( cf ` A ) )
48		elina 9509	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. Inacc <-> ( A =/= (/) /\ ( cf ` A ) = A /\ A. x e. A ~P x ~< A ) )
49	48	simp2bi 1077	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. Inacc -> ( cf ` A ) = A )
50	47, 49	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. Inacc /\ ( rank ` x ) = A ) -> ( cf ` ( rank ` x ) ) = A )
51	50	breq2d 4665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. Inacc /\ ( rank ` x ) = A ) -> ( x ~< ( cf ` ( rank ` x ) ) <-> x ~< A ) )
52	46, 51	mtbii 316	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. Inacc /\ ( rank ` x ) = A ) -> -. x ~< A )
53		inar1 9597	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. Inacc -> ( R1 ` A ) ~~ A )
54		sdomentr 8094	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x ~< ( R1 ` A ) /\ ( R1 ` A ) ~~ A ) -> x ~< A )
55	54	expcom 451	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R1 ` A ) ~~ A -> ( x ~< ( R1 ` A ) -> x ~< A ) )
56	53, 55	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. Inacc -> ( x ~< ( R1 ` A ) -> x ~< A ) )
57	56	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. Inacc /\ ( rank ` x ) = A ) -> ( x ~< ( R1 ` A ) -> x ~< A ) )
58	52, 57	mtod 189	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. Inacc /\ ( rank ` x ) = A ) -> -. x ~< ( R1 ` A ) )
59	58	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Inacc /\ x e. ~P ( R1 ` A ) ) /\ ( rank ` x ) = A ) -> -. x ~< ( R1 ` A ) )
60		bren2 7986	. . . . . . 7 |- ( x ~~ ( R1 ` A ) <-> ( x ~<_ ( R1 ` A ) /\ -. x ~< ( R1 ` A ) ) )
61	45, 59, 60	sylanbrc 698	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Inacc /\ x e. ~P ( R1 ` A ) ) /\ ( rank ` x ) = A ) -> x ~~ ( R1 ` A ) )
62	61	ex 450	. . . . 5 |- ( ( A e. Inacc /\ x e. ~P ( R1 ` A ) ) -> ( ( rank ` x ) = A -> x ~~ ( R1 ` A ) ) )
63		r1elwf 8659	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( R1 ` suc A ) -> x e. U. ( R1 " On ) )
64	33, 63	syl6bir 244	. . . . . . . 8 |- ( A e. Inacc -> ( x e. ~P ( R1 ` A ) -> x e. U. ( R1 " On ) ) )
65	64	imp 445	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Inacc /\ x e. ~P ( R1 ` A ) ) -> x e. U. ( R1 " On ) )
66		r1fnon 8630	. . . . . . . . . 10 |- R1 Fn On
67		fndm 5990	. . . . . . . . . 10 |- ( R1 Fn On -> dom R1 = On )
68	66, 67	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- dom R1 = On
69	30, 68	syl6eleqr 2712	. . . . . . . 8 |- ( A e. Inacc -> A e. dom R1 )
70	69	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Inacc /\ x e. ~P ( R1 ` A ) ) -> A e. dom R1 )
71		rankr1ag 8665	. . . . . . 7 |- ( ( x e. U. ( R1 " On ) /\ A e. dom R1 ) -> ( x e. ( R1 ` A ) <-> ( rank ` x ) e. A ) )
72	65, 70, 71	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( A e. Inacc /\ x e. ~P ( R1 ` A ) ) -> ( x e. ( R1 ` A ) <-> ( rank ` x ) e. A ) )
73	72	biimprd 238	. . . . 5 |- ( ( A e. Inacc /\ x e. ~P ( R1 ` A ) ) -> ( ( rank ` x ) e. A -> x e. ( R1 ` A ) ) )
74	62, 73	orim12d 883	. . . 4 |- ( ( A e. Inacc /\ x e. ~P ( R1 ` A ) ) -> ( ( ( rank ` x ) = A \/ ( rank ` x ) e. A ) -> ( x ~~ ( R1 ` A ) \/ x e. ( R1 ` A ) ) ) )
75	40, 74	mpd 15	. . 3 |- ( ( A e. Inacc /\ x e. ~P ( R1 ` A ) ) -> ( x ~~ ( R1 ` A ) \/ x e. ( R1 ` A ) ) )
76	75	ralrimiva 2966	. 2 |- ( A e. Inacc -> A. x e. ~P ( R1 ` A ) ( x ~~ ( R1 ` A ) \/ x e. ( R1 ` A ) ) )
77		eltsk2g 9573	. . 3 |- ( ( R1 ` A ) e. _V -> ( ( R1 ` A ) e. Tarski <-> ( A. x e. ( R1 ` A ) ( ~P x C_ ( R1 ` A ) /\ ~P x e. ( R1 ` A ) ) /\ A. x e. ~P ( R1 ` A ) ( x ~~ ( R1 ` A ) \/ x e. ( R1 ` A ) ) ) ) )
78	41, 77	ax-mp 5	. 2 |- ( ( R1 ` A ) e. Tarski <-> ( A. x e. ( R1 ` A ) ( ~P x C_ ( R1 ` A ) /\ ~P x e. ( R1 ` A ) ) /\ A. x e. ~P ( R1 ` A ) ( x ~~ ( R1 ` A ) \/ x e. ( R1 ` A ) ) ) )
79	29, 76, 78	sylanbrc 698	1 |- ( A e. Inacc -> ( R1 ` A ) e. Tarski )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   "cima 5117   Oncon0 5723   Lim wlim 5724   suc csuc 5725   Fn wfn 5883   ` cfv 5888   ~~ cen 7952   ~<_ cdom 7953   ~< csdm 7954   R1cr1 8625   rankcrnk 8626   cfccf 8763   InaccWcwina 9504   Inacccina 9505   Tarskictsk 9570

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-ac2 9285

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-oi 8415  df-r1 8627  df-rank 8628  df-card 8765  df-cf 8767  df-acn 8768  df-ac 8939  df-wina 9506  df-ina 9507  df-tsk 9571

This theorem is referenced by:  r1omtsk  9601  r1tskina  9604  grutsk  9644