Theorem en3lplem2VD 39079

Description: Virtual deduction proof of en3lplem2 8512. (Contributed by Alan Sare, 24-Oct-2011.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
en3lplem2VD	|- ( ( A e. B /\ B e. C /\ C e. A ) -> ( x e. { A , B , C } -> E. y ( y e. { A , B , C } /\ y e. x ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, C, y

Proof of Theorem en3lplem2VD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idn1 38790	. . . . . . 7 |- (. ( A e. B /\ B e. C /\ C e. A ) ->. ( A e. B /\ B e. C /\ C e. A ) ).
2		idn3 38840	. . . . . . 7 |- (. ( A e. B /\ B e. C /\ C e. A ) ,. x e. { A , B , C } ,. x = A ->. x = A ).
3		en3lplem1VD 39078	. . . . . . 7 |- ( ( A e. B /\ B e. C /\ C e. A ) -> ( x = A -> E. y ( y e. { A , B , C } /\ y e. x ) ) )
4	1, 2, 3	e13 38975	. . . . . 6 |- (. ( A e. B /\ B e. C /\ C e. A ) ,. x e. { A , B , C } ,. x = A ->. E. y ( y e. { A , B , C } /\ y e. x ) ).
5	4	in3 38834	. . . . 5 |- (. ( A e. B /\ B e. C /\ C e. A ) ,. x e. { A , B , C } ->. ( x = A -> E. y ( y e. { A , B , C } /\ y e. x ) ) ).
6		3anrot 1043	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. B /\ B e. C /\ C e. A ) <-> ( B e. C /\ C e. A /\ A e. B ) )
7	1, 6	e1bi 38854	. . . . . . . 8 |- (. ( A e. B /\ B e. C /\ C e. A ) ->. ( B e. C /\ C e. A /\ A e. B ) ).
8		idn3 38840	. . . . . . . 8 |- (. ( A e. B /\ B e. C /\ C e. A ) ,. x e. { A , B , C } ,. x = B ->. x = B ).
9		en3lplem1VD 39078	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. C /\ C e. A /\ A e. B ) -> ( x = B -> E. y ( y e. { B , C , A } /\ y e. x ) ) )
10	7, 8, 9	e13 38975	. . . . . . 7 |- (. ( A e. B /\ B e. C /\ C e. A ) ,. x e. { A , B , C } ,. x = B ->. E. y ( y e. { B , C , A } /\ y e. x ) ).
11		tprot 4284	. . . . . . . . . 10 |- { A , B , C } = { B , C , A }
12	11	eleq2i 2693	. . . . . . . . 9 |- ( y e. { A , B , C } <-> y e. { B , C , A } )
13	12	anbi1i 731	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. { A , B , C } /\ y e. x ) <-> ( y e. { B , C , A } /\ y e. x ) )
14	13	exbii 1774	. . . . . . 7 |- ( E. y ( y e. { A , B , C } /\ y e. x ) <-> E. y ( y e. { B , C , A } /\ y e. x ) )
15	10, 14	e3bir 38966	. . . . . 6 |- (. ( A e. B /\ B e. C /\ C e. A ) ,. x e. { A , B , C } ,. x = B ->. E. y ( y e. { A , B , C } /\ y e. x ) ).
16	15	in3 38834	. . . . 5 |- (. ( A e. B /\ B e. C /\ C e. A ) ,. x e. { A , B , C } ->. ( x = B -> E. y ( y e. { A , B , C } /\ y e. x ) ) ).
17		jao 534	. . . . 5 |- ( ( x = A -> E. y ( y e. { A , B , C } /\ y e. x ) ) -> ( ( x = B -> E. y ( y e. { A , B , C } /\ y e. x ) ) -> ( ( x = A \/ x = B ) -> E. y ( y e. { A , B , C } /\ y e. x ) ) ) )
18	5, 16, 17	e22 38896	. . . 4 |- (. ( A e. B /\ B e. C /\ C e. A ) ,. x e. { A , B , C } ->. ( ( x = A \/ x = B ) -> E. y ( y e. { A , B , C } /\ y e. x ) ) ).
19		3anrot 1043	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. A /\ A e. B /\ B e. C ) <-> ( A e. B /\ B e. C /\ C e. A ) )
20	1, 19	e1bir 38855	. . . . . . 7 |- (. ( A e. B /\ B e. C /\ C e. A ) ->. ( C e. A /\ A e. B /\ B e. C ) ).
21		idn3 38840	. . . . . . 7 |- (. ( A e. B /\ B e. C /\ C e. A ) ,. x e. { A , B , C } ,. x = C ->. x = C ).
22		en3lplem1VD 39078	. . . . . . 7 |- ( ( C e. A /\ A e. B /\ B e. C ) -> ( x = C -> E. y ( y e. { C , A , B } /\ y e. x ) ) )
23	20, 21, 22	e13 38975	. . . . . 6 |- (. ( A e. B /\ B e. C /\ C e. A ) ,. x e. { A , B , C } ,. x = C ->. E. y ( y e. { C , A , B } /\ y e. x ) ).
24		tprot 4284	. . . . . . . . 9 |- { C , A , B } = { A , B , C }
25	24	eleq2i 2693	. . . . . . . 8 |- ( y e. { C , A , B } <-> y e. { A , B , C } )
26	25	anbi1i 731	. . . . . . 7 |- ( ( y e. { C , A , B } /\ y e. x ) <-> ( y e. { A , B , C } /\ y e. x ) )
27	26	exbii 1774	. . . . . 6 |- ( E. y ( y e. { C , A , B } /\ y e. x ) <-> E. y ( y e. { A , B , C } /\ y e. x ) )
28	23, 27	e3bi 38965	. . . . 5 |- (. ( A e. B /\ B e. C /\ C e. A ) ,. x e. { A , B , C } ,. x = C ->. E. y ( y e. { A , B , C } /\ y e. x ) ).
29	28	in3 38834	. . . 4 |- (. ( A e. B /\ B e. C /\ C e. A ) ,. x e. { A , B , C } ->. ( x = C -> E. y ( y e. { A , B , C } /\ y e. x ) ) ).
30		idn2 38838	. . . . . . 7 |- (. ( A e. B /\ B e. C /\ C e. A ) ,. x e. { A , B , C } ->. x e. { A , B , C } ).
31		dftp2 4231	. . . . . . . 8 |- { A , B , C } = { x | ( x = A \/ x = B \/ x = C ) }
32	31	eleq2i 2693	. . . . . . 7 |- ( x e. { A , B , C } <-> x e. { x | ( x = A \/ x = B \/ x = C ) } )
33	30, 32	e2bi 38857	. . . . . 6 |- (. ( A e. B /\ B e. C /\ C e. A ) ,. x e. { A , B , C } ->. x e. { x | ( x = A \/ x = B \/ x = C ) } ).
34		abid 2610	. . . . . 6 |- ( x e. { x | ( x = A \/ x = B \/ x = C ) } <-> ( x = A \/ x = B \/ x = C ) )
35	33, 34	e2bi 38857	. . . . 5 |- (. ( A e. B /\ B e. C /\ C e. A ) ,. x e. { A , B , C } ->. ( x = A \/ x = B \/ x = C ) ).
36		df-3or 1038	. . . . 5 |- ( ( x = A \/ x = B \/ x = C ) <-> ( ( x = A \/ x = B ) \/ x = C ) )
37	35, 36	e2bi 38857	. . . 4 |- (. ( A e. B /\ B e. C /\ C e. A ) ,. x e. { A , B , C } ->. ( ( x = A \/ x = B ) \/ x = C ) ).
38		jao 534	. . . 4 |- ( ( ( x = A \/ x = B ) -> E. y ( y e. { A , B , C } /\ y e. x ) ) -> ( ( x = C -> E. y ( y e. { A , B , C } /\ y e. x ) ) -> ( ( ( x = A \/ x = B ) \/ x = C ) -> E. y ( y e. { A , B , C } /\ y e. x ) ) ) )
39	18, 29, 37, 38	e222 38861	. . 3 |- (. ( A e. B /\ B e. C /\ C e. A ) ,. x e. { A , B , C } ->. E. y ( y e. { A , B , C } /\ y e. x ) ).
40	39	in2 38830	. 2 |- (. ( A e. B /\ B e. C /\ C e. A ) ->. ( x e. { A , B , C } -> E. y ( y e. { A , B , C } /\ y e. x ) ) ).
41	40	in1 38787	1 |- ( ( A e. B /\ B e. C /\ C e. A ) -> ( x e. { A , B , C } -> E. y ( y e. { A , B , C } /\ y e. x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   \/ w3o 1036   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   {ctp 4181

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-v 3202  df-un 3579  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-vd1 38786  df-vd2 38794  df-vd3 38806

This theorem is referenced by:  en3lpVD  39080