Theorem en3lpVD 39080

Description: Virtual deduction proof of en3lp 8513. (Contributed by Alan Sare, 24-Oct-2011.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
en3lpVD	|- -. ( A e. B /\ B e. C /\ C e. A )

Proof of Theorem en3lpVD

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm2.1 433	. . 3 |- ( -. { A , B , C } = (/) \/ { A , B , C } = (/) )
2		df-ne 2795	. . . . 5 |- ( { A , B , C } =/= (/) <-> -. { A , B , C } = (/) )
3	2	bicomi 214	. . . 4 |- ( -. { A , B , C } = (/) <-> { A , B , C } =/= (/) )
4	3	orbi1i 542	. . 3 |- ( ( -. { A , B , C } = (/) \/ { A , B , C } = (/) ) <-> ( { A , B , C } =/= (/) \/ { A , B , C } = (/) ) )
5	1, 4	mpbi 220	. 2 |- ( { A , B , C } =/= (/) \/ { A , B , C } = (/) )
6		zfregs2 8609	. . . 4 |- ( { A , B , C } =/= (/) -> -. A. x e. { A , B , C } E. y ( y e. { A , B , C } /\ y e. x ) )
7		en3lplem2VD 39079	. . . . . . 7 |- ( ( A e. B /\ B e. C /\ C e. A ) -> ( x e. { A , B , C } -> E. y ( y e. { A , B , C } /\ y e. x ) ) )
8	7	alrimiv 1855	. . . . . 6 |- ( ( A e. B /\ B e. C /\ C e. A ) -> A. x ( x e. { A , B , C } -> E. y ( y e. { A , B , C } /\ y e. x ) ) )
9		df-ral 2917	. . . . . 6 |- ( A. x e. { A , B , C } E. y ( y e. { A , B , C } /\ y e. x ) <-> A. x ( x e. { A , B , C } -> E. y ( y e. { A , B , C } /\ y e. x ) ) )
10	8, 9	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ( A e. B /\ B e. C /\ C e. A ) -> A. x e. { A , B , C } E. y ( y e. { A , B , C } /\ y e. x ) )
11	10	con3i 150	. . . 4 |- ( -. A. x e. { A , B , C } E. y ( y e. { A , B , C } /\ y e. x ) -> -. ( A e. B /\ B e. C /\ C e. A ) )
12	6, 11	syl 17	. . 3 |- ( { A , B , C } =/= (/) -> -. ( A e. B /\ B e. C /\ C e. A ) )
13		idn1 38790	. . . . . . 7 |- (. { A , B , C } = (/) ->. { A , B , C } = (/) ).
14		noel 3919	. . . . . . 7 |- -. C e. (/)
15		eleq2 2690	. . . . . . . . 9 |- ( { A , B , C } = (/) -> ( C e. { A , B , C } <-> C e. (/) ) )
16	15	notbid 308	. . . . . . . 8 |- ( { A , B , C } = (/) -> ( -. C e. { A , B , C } <-> -. C e. (/) ) )
17	16	biimprd 238	. . . . . . 7 |- ( { A , B , C } = (/) -> ( -. C e. (/) -> -. C e. { A , B , C } ) )
18	13, 14, 17	e10 38919	. . . . . 6 |- (. { A , B , C } = (/) ->. -. C e. { A , B , C } ).
19		tpid3g 4305	. . . . . . 7 |- ( C e. A -> C e. { A , B , C } )
20	19	con3i 150	. . . . . 6 |- ( -. C e. { A , B , C } -> -. C e. A )
21	18, 20	e1a 38852	. . . . 5 |- (. { A , B , C } = (/) ->. -. C e. A ).
22		simp3 1063	. . . . . 6 |- ( ( A e. B /\ B e. C /\ C e. A ) -> C e. A )
23	22	con3i 150	. . . . 5 |- ( -. C e. A -> -. ( A e. B /\ B e. C /\ C e. A ) )
24	21, 23	e1a 38852	. . . 4 |- (. { A , B , C } = (/) ->. -. ( A e. B /\ B e. C /\ C e. A ) ).
25	24	in1 38787	. . 3 |- ( { A , B , C } = (/) -> -. ( A e. B /\ B e. C /\ C e. A ) )
26	12, 25	jaoi 394	. 2 |- ( ( { A , B , C } =/= (/) \/ { A , B , C } = (/) ) -> -. ( A e. B /\ B e. C /\ C e. A ) )
27	5, 26	ax-mp 5	1 |- -. ( A e. B /\ B e. C /\ C e. A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   (/)c0 3915   {ctp 4181

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-reg 8497  ax-inf2 8538

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-vd1 38786  df-vd2 38794  df-vd3 38806

This theorem is referenced by: (None)