Theorem eqfunresadj 31659

Description: Law for adjoining an element to restrictions of functions. (Contributed by Scott Fenton, 6-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
eqfunresadj	|- ( ( ( Fun F /\ Fun G ) /\ ( F |` X ) = ( G |` X ) /\ ( Y e. dom F /\ Y e. dom G /\ ( F ` Y ) = ( G ` Y ) ) ) -> ( F |` ( X u. { Y } ) ) = ( G |` ( X u. { Y } ) ) )

Proof of Theorem eqfunresadj

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relres 5426	. 2 |- Rel ( F |` ( X u. { Y } ) )
2		relres 5426	. 2 |- Rel ( G |` ( X u. { Y } ) )
3		breq 4655	. . . . 5 |- ( ( F |` X ) = ( G |` X ) -> ( x ( F |` X ) y <-> x ( G |` X ) y ) )
4	3	3ad2ant2 1083	. . . 4 |- ( ( ( Fun F /\ Fun G ) /\ ( F |` X ) = ( G |` X ) /\ ( Y e. dom F /\ Y e. dom G /\ ( F ` Y ) = ( G ` Y ) ) ) -> ( x ( F |` X ) y <-> x ( G |` X ) y ) )
5		velsn 4193	. . . . . . 7 |- ( x e. { Y } <-> x = Y )
6		simp33 1099	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( Fun F /\ Fun G ) /\ ( F |` X ) = ( G |` X ) /\ ( Y e. dom F /\ Y e. dom G /\ ( F ` Y ) = ( G ` Y ) ) ) -> ( F ` Y ) = ( G ` Y ) )
7	6	eqeq1d 2624	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( Fun F /\ Fun G ) /\ ( F |` X ) = ( G |` X ) /\ ( Y e. dom F /\ Y e. dom G /\ ( F ` Y ) = ( G ` Y ) ) ) -> ( ( F ` Y ) = y <-> ( G ` Y ) = y ) )
8		simp1l 1085	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( Fun F /\ Fun G ) /\ ( F |` X ) = ( G |` X ) /\ ( Y e. dom F /\ Y e. dom G /\ ( F ` Y ) = ( G ` Y ) ) ) -> Fun F )
9		simp31 1097	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( Fun F /\ Fun G ) /\ ( F |` X ) = ( G |` X ) /\ ( Y e. dom F /\ Y e. dom G /\ ( F ` Y ) = ( G ` Y ) ) ) -> Y e. dom F )
10		funbrfvb 6238	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun F /\ Y e. dom F ) -> ( ( F ` Y ) = y <-> Y F y ) )
11	8, 9, 10	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( Fun F /\ Fun G ) /\ ( F |` X ) = ( G |` X ) /\ ( Y e. dom F /\ Y e. dom G /\ ( F ` Y ) = ( G ` Y ) ) ) -> ( ( F ` Y ) = y <-> Y F y ) )
12		simp1r 1086	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( Fun F /\ Fun G ) /\ ( F |` X ) = ( G |` X ) /\ ( Y e. dom F /\ Y e. dom G /\ ( F ` Y ) = ( G ` Y ) ) ) -> Fun G )
13		simp32 1098	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( Fun F /\ Fun G ) /\ ( F |` X ) = ( G |` X ) /\ ( Y e. dom F /\ Y e. dom G /\ ( F ` Y ) = ( G ` Y ) ) ) -> Y e. dom G )
14		funbrfvb 6238	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun G /\ Y e. dom G ) -> ( ( G ` Y ) = y <-> Y G y ) )
15	12, 13, 14	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( Fun F /\ Fun G ) /\ ( F |` X ) = ( G |` X ) /\ ( Y e. dom F /\ Y e. dom G /\ ( F ` Y ) = ( G ` Y ) ) ) -> ( ( G ` Y ) = y <-> Y G y ) )
16	7, 11, 15	3bitr3d 298	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Fun F /\ Fun G ) /\ ( F |` X ) = ( G |` X ) /\ ( Y e. dom F /\ Y e. dom G /\ ( F ` Y ) = ( G ` Y ) ) ) -> ( Y F y <-> Y G y ) )
17		breq1 4656	. . . . . . . . 9 |- ( x = Y -> ( x F y <-> Y F y ) )
18		breq1 4656	. . . . . . . . 9 |- ( x = Y -> ( x G y <-> Y G y ) )
19	17, 18	bibi12d 335	. . . . . . . 8 |- ( x = Y -> ( ( x F y <-> x G y ) <-> ( Y F y <-> Y G y ) ) )
20	16, 19	syl5ibrcom 237	. . . . . . 7 |- ( ( ( Fun F /\ Fun G ) /\ ( F |` X ) = ( G |` X ) /\ ( Y e. dom F /\ Y e. dom G /\ ( F ` Y ) = ( G ` Y ) ) ) -> ( x = Y -> ( x F y <-> x G y ) ) )
21	5, 20	syl5bi 232	. . . . . 6 |- ( ( ( Fun F /\ Fun G ) /\ ( F |` X ) = ( G |` X ) /\ ( Y e. dom F /\ Y e. dom G /\ ( F ` Y ) = ( G ` Y ) ) ) -> ( x e. { Y } -> ( x F y <-> x G y ) ) )
22	21	pm5.32rd 672	. . . . 5 |- ( ( ( Fun F /\ Fun G ) /\ ( F |` X ) = ( G |` X ) /\ ( Y e. dom F /\ Y e. dom G /\ ( F ` Y ) = ( G ` Y ) ) ) -> ( ( x F y /\ x e. { Y } ) <-> ( x G y /\ x e. { Y } ) ) )
23		vex 3203	. . . . . 6 |- y e. _V
24	23	brres 5402	. . . . 5 |- ( x ( F |` { Y } ) y <-> ( x F y /\ x e. { Y } ) )
25	23	brres 5402	. . . . 5 |- ( x ( G |` { Y } ) y <-> ( x G y /\ x e. { Y } ) )
26	22, 24, 25	3bitr4g 303	. . . 4 |- ( ( ( Fun F /\ Fun G ) /\ ( F |` X ) = ( G |` X ) /\ ( Y e. dom F /\ Y e. dom G /\ ( F ` Y ) = ( G ` Y ) ) ) -> ( x ( F |` { Y } ) y <-> x ( G |` { Y } ) y ) )
27	4, 26	orbi12d 746	. . 3 |- ( ( ( Fun F /\ Fun G ) /\ ( F |` X ) = ( G |` X ) /\ ( Y e. dom F /\ Y e. dom G /\ ( F ` Y ) = ( G ` Y ) ) ) -> ( ( x ( F |` X ) y \/ x ( F |` { Y } ) y ) <-> ( x ( G |` X ) y \/ x ( G |` { Y } ) y ) ) )
28		resundi 5410	. . . . 5 |- ( F |` ( X u. { Y } ) ) = ( ( F |` X ) u. ( F |` { Y } ) )
29	28	breqi 4659	. . . 4 |- ( x ( F |` ( X u. { Y } ) ) y <-> x ( ( F |` X ) u. ( F |` { Y } ) ) y )
30		brun 4703	. . . 4 |- ( x ( ( F |` X ) u. ( F |` { Y } ) ) y <-> ( x ( F |` X ) y \/ x ( F |` { Y } ) y ) )
31	29, 30	bitri 264	. . 3 |- ( x ( F |` ( X u. { Y } ) ) y <-> ( x ( F |` X ) y \/ x ( F |` { Y } ) y ) )
32		resundi 5410	. . . . 5 |- ( G |` ( X u. { Y } ) ) = ( ( G |` X ) u. ( G |` { Y } ) )
33	32	breqi 4659	. . . 4 |- ( x ( G |` ( X u. { Y } ) ) y <-> x ( ( G |` X ) u. ( G |` { Y } ) ) y )
34		brun 4703	. . . 4 |- ( x ( ( G |` X ) u. ( G |` { Y } ) ) y <-> ( x ( G |` X ) y \/ x ( G |` { Y } ) y ) )
35	33, 34	bitri 264	. . 3 |- ( x ( G |` ( X u. { Y } ) ) y <-> ( x ( G |` X ) y \/ x ( G |` { Y } ) y ) )
36	27, 31, 35	3bitr4g 303	. 2 |- ( ( ( Fun F /\ Fun G ) /\ ( F |` X ) = ( G |` X ) /\ ( Y e. dom F /\ Y e. dom G /\ ( F ` Y ) = ( G ` Y ) ) ) -> ( x ( F |` ( X u. { Y } ) ) y <-> x ( G |` ( X u. { Y } ) ) y ) )
37	1, 2, 36	eqbrrdiv 5218	1 |- ( ( ( Fun F /\ Fun G ) /\ ( F |` X ) = ( G |` X ) /\ ( Y e. dom F /\ Y e. dom G /\ ( F ` Y ) = ( G ` Y ) ) ) -> ( F |` ( X u. { Y } ) ) = ( G |` ( X u. { Y } ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   u. cun 3572   {csn 4177   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   |` cres 5116   Fun wfun 5882   ` cfv 5888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-res 5126  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-fv 5896

This theorem is referenced by:  eqfunressuc  31660