Theorem euelss 3914

Description: Transfer uniqueness of an element to a smaller subclass. (Contributed by AV, 14-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
euelss	|- ( ( A C_ B /\ E. x x e. A /\ E! x x e. B ) -> E! x x e. A )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem euelss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . 4 |- ( A C_ B -> A C_ B )
2		df-rex 2918	. . . . 5 |- ( E. x e. A T. <-> E. x ( x e. A /\ T. ) )
3		ancom 466	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A /\ T. ) <-> ( T. /\ x e. A ) )
4		truan 1501	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. A ) <-> x e. A )
5	3, 4	bitri 264	. . . . . 6 |- ( ( x e. A /\ T. ) <-> x e. A )
6	5	exbii 1774	. . . . 5 |- ( E. x ( x e. A /\ T. ) <-> E. x x e. A )
7	2, 6	sylbbr 226	. . . 4 |- ( E. x x e. A -> E. x e. A T. )
8		df-reu 2919	. . . . 5 |- ( E! x e. B T. <-> E! x ( x e. B /\ T. ) )
9		ancom 466	. . . . . . 7 |- ( ( x e. B /\ T. ) <-> ( T. /\ x e. B ) )
10		truan 1501	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. B ) <-> x e. B )
11	9, 10	bitri 264	. . . . . 6 |- ( ( x e. B /\ T. ) <-> x e. B )
12	11	eubii 2492	. . . . 5 |- ( E! x ( x e. B /\ T. ) <-> E! x x e. B )
13	8, 12	sylbbr 226	. . . 4 |- ( E! x x e. B -> E! x e. B T. )
14		reuss 3908	. . . 4 |- ( ( A C_ B /\ E. x e. A T. /\ E! x e. B T. ) -> E! x e. A T. )
15	1, 7, 13, 14	syl3an 1368	. . 3 |- ( ( A C_ B /\ E. x x e. A /\ E! x x e. B ) -> E! x e. A T. )
16		df-reu 2919	. . 3 |- ( E! x e. A T. <-> E! x ( x e. A /\ T. ) )
17	15, 16	sylib 208	. 2 |- ( ( A C_ B /\ E. x x e. A /\ E! x x e. B ) -> E! x ( x e. A /\ T. ) )
18		ancom 466	. . . 4 |- ( ( T. /\ x e. A ) <-> ( x e. A /\ T. ) )
19	4, 18	bitr3i 266	. . 3 |- ( x e. A <-> ( x e. A /\ T. ) )
20	19	eubii 2492	. 2 |- ( E! x x e. A <-> E! x ( x e. A /\ T. ) )
21	17, 20	sylibr 224	1 |- ( ( A C_ B /\ E. x x e. A /\ E! x x e. B ) -> E! x x e. A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   T. wtru 1484   E.wex 1704   e. wcel 1990   E!weu 2470   E.wrex 2913   E!wreu 2914   C_ wss 3574

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-in 3581  df-ss 3588

This theorem is referenced by:  initoeu1  16661  termoeu1  16668