Theorem initoeu1 16661

Description: Initial objects are essentially unique (strong form), i.e. there is a unique isomorphism between two initial objects, see statement in [Lang] p. 58 ("... if P, P' are two universal objects [...] then there exists a unique isomorphism between them.". (Proposed by BJ, 14-Apr-2020.) (Contributed by AV, 14-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
initoeu1.c	|- ( ph -> C e. Cat )
initoeu1.a	|- ( ph -> A e. (InitO ` C ) )
initoeu1.b	|- ( ph -> B e. (InitO ` C ) )

Assertion

Ref	Expression
initoeu1	|- ( ph -> E! f f e. ( A ( Iso ` C ) B ) )

Distinct variable groups:   A, f   B, f   C, f   ph, f

Proof of Theorem initoeu1

Dummy variables a g b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		initoeu1.a	. . 3 |- ( ph -> A e. (InitO ` C ) )
2		eqid 2622	. . . 4 |- ( Base ` C ) = ( Base ` C )
3		eqid 2622	. . . 4 |- ( Hom ` C ) = ( Hom ` C )
4		initoeu1.c	. . . 4 |- ( ph -> C e. Cat )
5	2, 3, 4	isinitoi 16653	. . 3 |- ( ( ph /\ A e. (InitO ` C ) ) -> ( A e. ( Base ` C ) /\ A. b e. ( Base ` C ) E! f f e. ( A ( Hom ` C ) b ) ) )
6	1, 5	mpdan 702	. 2 |- ( ph -> ( A e. ( Base ` C ) /\ A. b e. ( Base ` C ) E! f f e. ( A ( Hom ` C ) b ) ) )
7		initoeu1.b	. . . . 5 |- ( ph -> B e. (InitO ` C ) )
8	2, 3, 4	isinitoi 16653	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B e. (InitO ` C ) ) -> ( B e. ( Base ` C ) /\ A. a e. ( Base ` C ) E! g g e. ( B ( Hom ` C ) a ) ) )
9	7, 8	mpdan 702	. . . 4 |- ( ph -> ( B e. ( Base ` C ) /\ A. a e. ( Base ` C ) E! g g e. ( B ( Hom ` C ) a ) ) )
10		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( b = B -> ( A ( Hom ` C ) b ) = ( A ( Hom ` C ) B ) )
11	10	eleq2d 2687	. . . . . . . . 9 |- ( b = B -> ( f e. ( A ( Hom ` C ) b ) <-> f e. ( A ( Hom ` C ) B ) ) )
12	11	eubidv 2490	. . . . . . . 8 |- ( b = B -> ( E! f f e. ( A ( Hom ` C ) b ) <-> E! f f e. ( A ( Hom ` C ) B ) ) )
13	12	rspcv 3305	. . . . . . 7 |- ( B e. ( Base ` C ) -> ( A. b e. ( Base ` C ) E! f f e. ( A ( Hom ` C ) b ) -> E! f f e. ( A ( Hom ` C ) B ) ) )
14		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Iso ` C ) = ( Iso ` C )
15	4	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( B e. ( Base ` C ) /\ A e. ( Base ` C ) ) ) -> C e. Cat )
16		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( B e. ( Base ` C ) /\ A e. ( Base ` C ) ) ) -> A e. ( Base ` C ) )
17		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( B e. ( Base ` C ) /\ A e. ( Base ` C ) ) ) -> B e. ( Base ` C ) )
18	2, 3, 14, 15, 16, 17	isohom 16436	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( B e. ( Base ` C ) /\ A e. ( Base ` C ) ) ) -> ( A ( Iso ` C ) B ) C_ ( A ( Hom ` C ) B ) )
19	18	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( B e. ( Base ` C ) /\ A e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( E! f f e. ( A ( Hom ` C ) B ) /\ A. a e. ( Base ` C ) E! g g e. ( B ( Hom ` C ) a ) ) ) -> ( A ( Iso ` C ) B ) C_ ( A ( Hom ` C ) B ) )
20		euex 2494	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E! f f e. ( A ( Hom ` C ) B ) -> E. f f e. ( A ( Hom ` C ) B ) )
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( B e. ( Base ` C ) /\ A e. ( Base ` C ) ) ) -> ( E! f f e. ( A ( Hom ` C ) B ) -> E. f f e. ( A ( Hom ` C ) B ) ) )
22		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( a = A -> ( B ( Hom ` C ) a ) = ( B ( Hom ` C ) A ) )
23	22	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( a = A -> ( g e. ( B ( Hom ` C ) a ) <-> g e. ( B ( Hom ` C ) A ) ) )
24	23	eubidv 2490	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a = A -> ( E! g g e. ( B ( Hom ` C ) a ) <-> E! g g e. ( B ( Hom ` C ) A ) ) )
25	24	rspcva 3307	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. ( Base ` C ) /\ A. a e. ( Base ` C ) E! g g e. ( B ( Hom ` C ) a ) ) -> E! g g e. ( B ( Hom ` C ) A ) )
26		euex 2494	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( E! g g e. ( B ( Hom ` C ) A ) -> E. g g e. ( B ( Hom ` C ) A ) )
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. ( Base ` C ) /\ A. a e. ( Base ` C ) E! g g e. ( B ( Hom ` C ) a ) ) -> E. g g e. ( B ( Hom ` C ) A ) )
28	27	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. ( Base ` C ) -> ( A. a e. ( Base ` C ) E! g g e. ( B ( Hom ` C ) a ) -> E. g g e. ( B ( Hom ` C ) A ) ) )
29	28	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( B e. ( Base ` C ) /\ A e. ( Base ` C ) ) ) -> ( A. a e. ( Base ` C ) E! g g e. ( B ( Hom ` C ) a ) -> E. g g e. ( B ( Hom ` C ) A ) ) )
30		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (Inv ` C ) = (Inv ` C )
31	15	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ ( B e. ( Base ` C ) /\ A e. ( Base ` C ) ) ) /\ g e. ( B ( Hom ` C ) A ) ) /\ f e. ( A ( Hom ` C ) B ) ) -> C e. Cat )
32	16	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ ( B e. ( Base ` C ) /\ A e. ( Base ` C ) ) ) /\ g e. ( B ( Hom ` C ) A ) ) /\ f e. ( A ( Hom ` C ) B ) ) -> A e. ( Base ` C ) )
33	17	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ ( B e. ( Base ` C ) /\ A e. ( Base ` C ) ) ) /\ g e. ( B ( Hom ` C ) A ) ) /\ f e. ( A ( Hom ` C ) B ) ) -> B e. ( Base ` C ) )
34	4, 1, 7	2initoinv 16660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ g e. ( B ( Hom ` C ) A ) /\ f e. ( A ( Hom ` C ) B ) ) -> f ( A (Inv ` C ) B ) g )
35	34	3exp 1264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( g e. ( B ( Hom ` C ) A ) -> ( f e. ( A ( Hom ` C ) B ) -> f ( A (Inv ` C ) B ) g ) ) )
36	35	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( B e. ( Base ` C ) /\ A e. ( Base ` C ) ) ) -> ( g e. ( B ( Hom ` C ) A ) -> ( f e. ( A ( Hom ` C ) B ) -> f ( A (Inv ` C ) B ) g ) ) )
37	36	imp31 448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ ( B e. ( Base ` C ) /\ A e. ( Base ` C ) ) ) /\ g e. ( B ( Hom ` C ) A ) ) /\ f e. ( A ( Hom ` C ) B ) ) -> f ( A (Inv ` C ) B ) g )
38	2, 30, 31, 32, 33, 14, 37	inviso1 16426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( B e. ( Base ` C ) /\ A e. ( Base ` C ) ) ) /\ g e. ( B ( Hom ` C ) A ) ) /\ f e. ( A ( Hom ` C ) B ) ) -> f e. ( A ( Iso ` C ) B ) )
39	38	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( B e. ( Base ` C ) /\ A e. ( Base ` C ) ) ) /\ g e. ( B ( Hom ` C ) A ) ) -> ( f e. ( A ( Hom ` C ) B ) -> f e. ( A ( Iso ` C ) B ) ) )
40	39	eximdv 1846	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( B e. ( Base ` C ) /\ A e. ( Base ` C ) ) ) /\ g e. ( B ( Hom ` C ) A ) ) -> ( E. f f e. ( A ( Hom ` C ) B ) -> E. f f e. ( A ( Iso ` C ) B ) ) )
41	40	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( g e. ( B ( Hom ` C ) A ) -> ( ( ph /\ ( B e. ( Base ` C ) /\ A e. ( Base ` C ) ) ) -> ( E. f f e. ( A ( Hom ` C ) B ) -> E. f f e. ( A ( Iso ` C ) B ) ) ) )
42	41	exlimiv 1858	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. g g e. ( B ( Hom ` C ) A ) -> ( ( ph /\ ( B e. ( Base ` C ) /\ A e. ( Base ` C ) ) ) -> ( E. f f e. ( A ( Hom ` C ) B ) -> E. f f e. ( A ( Iso ` C ) B ) ) ) )
43	42	com3l 89	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( B e. ( Base ` C ) /\ A e. ( Base ` C ) ) ) -> ( E. f f e. ( A ( Hom ` C ) B ) -> ( E. g g e. ( B ( Hom ` C ) A ) -> E. f f e. ( A ( Iso ` C ) B ) ) ) )
44	43	impd 447	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( B e. ( Base ` C ) /\ A e. ( Base ` C ) ) ) -> ( ( E. f f e. ( A ( Hom ` C ) B ) /\ E. g g e. ( B ( Hom ` C ) A ) ) -> E. f f e. ( A ( Iso ` C ) B ) ) )
45	21, 29, 44	syl2and 500	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( B e. ( Base ` C ) /\ A e. ( Base ` C ) ) ) -> ( ( E! f f e. ( A ( Hom ` C ) B ) /\ A. a e. ( Base ` C ) E! g g e. ( B ( Hom ` C ) a ) ) -> E. f f e. ( A ( Iso ` C ) B ) ) )
46	45	imp 445	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( B e. ( Base ` C ) /\ A e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( E! f f e. ( A ( Hom ` C ) B ) /\ A. a e. ( Base ` C ) E! g g e. ( B ( Hom ` C ) a ) ) ) -> E. f f e. ( A ( Iso ` C ) B ) )
47		simprl 794	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( B e. ( Base ` C ) /\ A e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( E! f f e. ( A ( Hom ` C ) B ) /\ A. a e. ( Base ` C ) E! g g e. ( B ( Hom ` C ) a ) ) ) -> E! f f e. ( A ( Hom ` C ) B ) )
48		euelss 3914	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A ( Iso ` C ) B ) C_ ( A ( Hom ` C ) B ) /\ E. f f e. ( A ( Iso ` C ) B ) /\ E! f f e. ( A ( Hom ` C ) B ) ) -> E! f f e. ( A ( Iso ` C ) B ) )
49	19, 46, 47, 48	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( B e. ( Base ` C ) /\ A e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( E! f f e. ( A ( Hom ` C ) B ) /\ A. a e. ( Base ` C ) E! g g e. ( B ( Hom ` C ) a ) ) ) -> E! f f e. ( A ( Iso ` C ) B ) )
50	49	exp42 639	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( B e. ( Base ` C ) -> ( A e. ( Base ` C ) -> ( ( E! f f e. ( A ( Hom ` C ) B ) /\ A. a e. ( Base ` C ) E! g g e. ( B ( Hom ` C ) a ) ) -> E! f f e. ( A ( Iso ` C ) B ) ) ) ) )
51	50	com24 95	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( E! f f e. ( A ( Hom ` C ) B ) /\ A. a e. ( Base ` C ) E! g g e. ( B ( Hom ` C ) a ) ) -> ( A e. ( Base ` C ) -> ( B e. ( Base ` C ) -> E! f f e. ( A ( Iso ` C ) B ) ) ) ) )
52	51	com14 96	. . . . . . . 8 |- ( B e. ( Base ` C ) -> ( ( E! f f e. ( A ( Hom ` C ) B ) /\ A. a e. ( Base ` C ) E! g g e. ( B ( Hom ` C ) a ) ) -> ( A e. ( Base ` C ) -> ( ph -> E! f f e. ( A ( Iso ` C ) B ) ) ) ) )
53	52	expd 452	. . . . . . 7 |- ( B e. ( Base ` C ) -> ( E! f f e. ( A ( Hom ` C ) B ) -> ( A. a e. ( Base ` C ) E! g g e. ( B ( Hom ` C ) a ) -> ( A e. ( Base ` C ) -> ( ph -> E! f f e. ( A ( Iso ` C ) B ) ) ) ) ) )
54	13, 53	syldc 48	. . . . . 6 |- ( A. b e. ( Base ` C ) E! f f e. ( A ( Hom ` C ) b ) -> ( B e. ( Base ` C ) -> ( A. a e. ( Base ` C ) E! g g e. ( B ( Hom ` C ) a ) -> ( A e. ( Base ` C ) -> ( ph -> E! f f e. ( A ( Iso ` C ) B ) ) ) ) ) )
55	54	com15 101	. . . . 5 |- ( ph -> ( B e. ( Base ` C ) -> ( A. a e. ( Base ` C ) E! g g e. ( B ( Hom ` C ) a ) -> ( A e. ( Base ` C ) -> ( A. b e. ( Base ` C ) E! f f e. ( A ( Hom ` C ) b ) -> E! f f e. ( A ( Iso ` C ) B ) ) ) ) ) )
56	55	impd 447	. . . 4 |- ( ph -> ( ( B e. ( Base ` C ) /\ A. a e. ( Base ` C ) E! g g e. ( B ( Hom ` C ) a ) ) -> ( A e. ( Base ` C ) -> ( A. b e. ( Base ` C ) E! f f e. ( A ( Hom ` C ) b ) -> E! f f e. ( A ( Iso ` C ) B ) ) ) ) )
57	9, 56	mpd 15	. . 3 |- ( ph -> ( A e. ( Base ` C ) -> ( A. b e. ( Base ` C ) E! f f e. ( A ( Hom ` C ) b ) -> E! f f e. ( A ( Iso ` C ) B ) ) ) )
58	57	impd 447	. 2 |- ( ph -> ( ( A e. ( Base ` C ) /\ A. b e. ( Base ` C ) E! f f e. ( A ( Hom ` C ) b ) ) -> E! f f e. ( A ( Iso ` C ) B ) ) )
59	6, 58	mpd 15	1 |- ( ph -> E! f f e. ( A ( Iso ` C ) B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   E!weu 2470   A.wral 2912   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   Hom chom 15952   Catccat 16325  Invcinv 16405   Iso ciso 16406  InitOcinito 16638

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-cat 16329  df-cid 16330  df-sect 16407  df-inv 16408  df-iso 16409  df-inito 16641

This theorem is referenced by:  initoeu1w  16662