Theorem f1cofveqaeq 6515

Description: If the values of a composition of one-to-one functions for two arguments are equal, the arguments themselves must be equal. (Contributed by AV, 3-Feb-2021.)

Assertion

Ref	Expression
f1cofveqaeq	|- ( ( ( F : B -1-1-> C /\ G : A -1-1-> B ) /\ ( X e. A /\ Y e. A ) ) -> ( ( F ` ( G ` X ) ) = ( F ` ( G ` Y ) ) -> X = Y ) )

Proof of Theorem f1cofveqaeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 473	. . 3 |- ( ( F : B -1-1-> C /\ G : A -1-1-> B ) -> F : B -1-1-> C )
2		f1f 6101	. . . . . 6 |- ( G : A -1-1-> B -> G : A --> B )
3		ffvelrn 6357	. . . . . . . 8 |- ( ( G : A --> B /\ X e. A ) -> ( G ` X ) e. B )
4	3	ex 450	. . . . . . 7 |- ( G : A --> B -> ( X e. A -> ( G ` X ) e. B ) )
5		ffvelrn 6357	. . . . . . . 8 |- ( ( G : A --> B /\ Y e. A ) -> ( G ` Y ) e. B )
6	5	ex 450	. . . . . . 7 |- ( G : A --> B -> ( Y e. A -> ( G ` Y ) e. B ) )
7	4, 6	anim12d 586	. . . . . 6 |- ( G : A --> B -> ( ( X e. A /\ Y e. A ) -> ( ( G ` X ) e. B /\ ( G ` Y ) e. B ) ) )
8	2, 7	syl 17	. . . . 5 |- ( G : A -1-1-> B -> ( ( X e. A /\ Y e. A ) -> ( ( G ` X ) e. B /\ ( G ` Y ) e. B ) ) )
9	8	adantl 482	. . . 4 |- ( ( F : B -1-1-> C /\ G : A -1-1-> B ) -> ( ( X e. A /\ Y e. A ) -> ( ( G ` X ) e. B /\ ( G ` Y ) e. B ) ) )
10	9	imp 445	. . 3 |- ( ( ( F : B -1-1-> C /\ G : A -1-1-> B ) /\ ( X e. A /\ Y e. A ) ) -> ( ( G ` X ) e. B /\ ( G ` Y ) e. B ) )
11		f1veqaeq 6514	. . 3 |- ( ( F : B -1-1-> C /\ ( ( G ` X ) e. B /\ ( G ` Y ) e. B ) ) -> ( ( F ` ( G ` X ) ) = ( F ` ( G ` Y ) ) -> ( G ` X ) = ( G ` Y ) ) )
12	1, 10, 11	syl2an2r 876	. 2 |- ( ( ( F : B -1-1-> C /\ G : A -1-1-> B ) /\ ( X e. A /\ Y e. A ) ) -> ( ( F ` ( G ` X ) ) = ( F ` ( G ` Y ) ) -> ( G ` X ) = ( G ` Y ) ) )
13		f1veqaeq 6514	. . 3 |- ( ( G : A -1-1-> B /\ ( X e. A /\ Y e. A ) ) -> ( ( G ` X ) = ( G ` Y ) -> X = Y ) )
14	13	adantll 750	. 2 |- ( ( ( F : B -1-1-> C /\ G : A -1-1-> B ) /\ ( X e. A /\ Y e. A ) ) -> ( ( G ` X ) = ( G ` Y ) -> X = Y ) )
15	12, 14	syld 47	1 |- ( ( ( F : B -1-1-> C /\ G : A -1-1-> B ) /\ ( X e. A /\ Y e. A ) ) -> ( ( F ` ( G ` X ) ) = ( F ` ( G ` Y ) ) -> X = Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   ` cfv 5888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fv 5896

This theorem is referenced by:  uspgrn2crct  26700