Theorem fin23lem11 9139

Description: Lemma for isfin2-2 9141. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fin23lem11.1	|- ( z = ( A \ x ) -> ( ps <-> ch ) )
fin23lem11.2	|- ( w = ( A \ v ) -> ( ph <-> th ) )
fin23lem11.3	|- ( ( x C_ A /\ v C_ A ) -> ( ch <-> th ) )

Assertion

Ref	Expression
fin23lem11	|- ( B C_ ~P A -> ( E. x e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } A. w e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -. ph -> E. z e. B A. v e. B -. ps ) )

Distinct variable groups:   v, c, w, x, z, A   B, c, v, w, x, z   ch, z   ph, v   ps, x   th, w

Allowed substitution hints:   ph( x, z, w, c)   ps( z, w, v, c)   ch( x, w, v, c)   th( x, z, v, c)

Proof of Theorem fin23lem11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difeq2 3722	. . . . 5 |- ( c = x -> ( A \ c ) = ( A \ x ) )
2	1	eleq1d 2686	. . . 4 |- ( c = x -> ( ( A \ c ) e. B <-> ( A \ x ) e. B ) )
3	2	elrab 3363	. . 3 |- ( x e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } <-> ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) )
4		simp2r 1088	. . . . 5 |- ( ( B C_ ~P A /\ ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) /\ A. w e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -. ph ) -> ( A \ x ) e. B )
5		difss 3737	. . . . . . . . . 10 |- ( A \ v ) C_ A
6		ssun1 3776	. . . . . . . . . . . . 13 |- A C_ ( A u. x )
7		undif1 4043	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A \ x ) u. x ) = ( A u. x )
8	6, 7	sseqtr4i 3638	. . . . . . . . . . . 12 |- A C_ ( ( A \ x ) u. x )
9		simpl2r 1115	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B C_ ~P A /\ ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) /\ A. w e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -. ph ) /\ v e. B ) -> ( A \ x ) e. B )
10		simpl2l 1114	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B C_ ~P A /\ ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) /\ A. w e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -. ph ) /\ v e. B ) -> x e. ~P A )
11		unexg 6959	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A \ x ) e. B /\ x e. ~P A ) -> ( ( A \ x ) u. x ) e. _V )
12	9, 10, 11	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B C_ ~P A /\ ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) /\ A. w e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -. ph ) /\ v e. B ) -> ( ( A \ x ) u. x ) e. _V )
13		ssexg 4804	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A C_ ( ( A \ x ) u. x ) /\ ( ( A \ x ) u. x ) e. _V ) -> A e. _V )
14	8, 12, 13	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B C_ ~P A /\ ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) /\ A. w e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -. ph ) /\ v e. B ) -> A e. _V )
15		elpw2g 4827	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. _V -> ( ( A \ v ) e. ~P A <-> ( A \ v ) C_ A ) )
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B C_ ~P A /\ ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) /\ A. w e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -. ph ) /\ v e. B ) -> ( ( A \ v ) e. ~P A <-> ( A \ v ) C_ A ) )
17	5, 16	mpbiri 248	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B C_ ~P A /\ ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) /\ A. w e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -. ph ) /\ v e. B ) -> ( A \ v ) e. ~P A )
18		simpl1 1064	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B C_ ~P A /\ ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) /\ A. w e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -. ph ) /\ v e. B ) -> B C_ ~P A )
19		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B C_ ~P A /\ ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) /\ A. w e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -. ph ) /\ v e. B ) -> v e. B )
20	18, 19	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B C_ ~P A /\ ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) /\ A. w e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -. ph ) /\ v e. B ) -> v e. ~P A )
21	20	elpwid 4170	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B C_ ~P A /\ ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) /\ A. w e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -. ph ) /\ v e. B ) -> v C_ A )
22		dfss4 3858	. . . . . . . . . . 11 |- ( v C_ A <-> ( A \ ( A \ v ) ) = v )
23	21, 22	sylib 208	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B C_ ~P A /\ ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) /\ A. w e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -. ph ) /\ v e. B ) -> ( A \ ( A \ v ) ) = v )
24	23, 19	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B C_ ~P A /\ ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) /\ A. w e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -. ph ) /\ v e. B ) -> ( A \ ( A \ v ) ) e. B )
25		difeq2 3722	. . . . . . . . . . 11 |- ( c = ( A \ v ) -> ( A \ c ) = ( A \ ( A \ v ) ) )
26	25	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 |- ( c = ( A \ v ) -> ( ( A \ c ) e. B <-> ( A \ ( A \ v ) ) e. B ) )
27	26	elrab 3363	. . . . . . . . 9 |- ( ( A \ v ) e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } <-> ( ( A \ v ) e. ~P A /\ ( A \ ( A \ v ) ) e. B ) )
28	17, 24, 27	sylanbrc 698	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B C_ ~P A /\ ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) /\ A. w e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -. ph ) /\ v e. B ) -> ( A \ v ) e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } )
29		simpl3 1066	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B C_ ~P A /\ ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) /\ A. w e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -. ph ) /\ v e. B ) -> A. w e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -. ph )
30		fin23lem11.2	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( A \ v ) -> ( ph <-> th ) )
31	30	notbid 308	. . . . . . . . 9 |- ( w = ( A \ v ) -> ( -. ph <-> -. th ) )
32	31	rspcva 3307	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A \ v ) e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } /\ A. w e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -. ph ) -> -. th )
33	28, 29, 32	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( B C_ ~P A /\ ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) /\ A. w e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -. ph ) /\ v e. B ) -> -. th )
34		simplrl 800	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B C_ ~P A /\ ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) ) /\ v e. B ) -> x e. ~P A )
35	34	elpwid 4170	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B C_ ~P A /\ ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) ) /\ v e. B ) -> x C_ A )
36		ssel2 3598	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B C_ ~P A /\ v e. B ) -> v e. ~P A )
37	36	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B C_ ~P A /\ ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) ) /\ v e. B ) -> v e. ~P A )
38	37	elpwid 4170	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B C_ ~P A /\ ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) ) /\ v e. B ) -> v C_ A )
39		fin23lem11.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x C_ A /\ v C_ A ) -> ( ch <-> th ) )
40	35, 38, 39	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B C_ ~P A /\ ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) ) /\ v e. B ) -> ( ch <-> th ) )
41	40	notbid 308	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B C_ ~P A /\ ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) ) /\ v e. B ) -> ( -. ch <-> -. th ) )
42	41	3adantl3 1219	. . . . . . 7 |- ( ( ( B C_ ~P A /\ ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) /\ A. w e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -. ph ) /\ v e. B ) -> ( -. ch <-> -. th ) )
43	33, 42	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ( ( B C_ ~P A /\ ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) /\ A. w e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -. ph ) /\ v e. B ) -> -. ch )
44	43	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ( B C_ ~P A /\ ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) /\ A. w e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -. ph ) -> A. v e. B -. ch )
45		fin23lem11.1	. . . . . . . 8 |- ( z = ( A \ x ) -> ( ps <-> ch ) )
46	45	notbid 308	. . . . . . 7 |- ( z = ( A \ x ) -> ( -. ps <-> -. ch ) )
47	46	ralbidv 2986	. . . . . 6 |- ( z = ( A \ x ) -> ( A. v e. B -. ps <-> A. v e. B -. ch ) )
48	47	rspcev 3309	. . . . 5 |- ( ( ( A \ x ) e. B /\ A. v e. B -. ch ) -> E. z e. B A. v e. B -. ps )
49	4, 44, 48	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( B C_ ~P A /\ ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) /\ A. w e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -. ph ) -> E. z e. B A. v e. B -. ps )
50	49	3exp 1264	. . 3 |- ( B C_ ~P A -> ( ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) -> ( A. w e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -. ph -> E. z e. B A. v e. B -. ps ) ) )
51	3, 50	syl5bi 232	. 2 |- ( B C_ ~P A -> ( x e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -> ( A. w e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -. ph -> E. z e. B A. v e. B -. ps ) ) )
52	51	rexlimdv 3030	1 |- ( B C_ ~P A -> ( E. x e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } A. w e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -. ph -> E. z e. B A. v e. B -. ps ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-uni 4437

This theorem is referenced by:  fin2i2  9140  isfin2-2  9141