Theorem frinfm 33530

Description: A subset of a well-founded set has an infimum. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
frinfm	|- ( ( R Fr A /\ ( B e. C /\ B C_ A /\ B =/= (/) ) ) -> E. x e. A ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) )

Distinct variable groups:   x, R, y, z   x, A, y, z   x, B, y, z

Allowed substitution hints:   C( x, y, z)

Proof of Theorem frinfm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fri 5076	. . . . 5 |- ( ( ( B e. C /\ R Fr A ) /\ ( B C_ A /\ B =/= (/) ) ) -> E. x e. B A. y e. B -. y R x )
2	1	ancom1s 847	. . . 4 |- ( ( ( R Fr A /\ B e. C ) /\ ( B C_ A /\ B =/= (/) ) ) -> E. x e. B A. y e. B -. y R x )
3	2	exp43 640	. . 3 |- ( R Fr A -> ( B e. C -> ( B C_ A -> ( B =/= (/) -> E. x e. B A. y e. B -. y R x ) ) ) )
4	3	3imp2 1282	. 2 |- ( ( R Fr A /\ ( B e. C /\ B C_ A /\ B =/= (/) ) ) -> E. x e. B A. y e. B -. y R x )
5		ssel2 3598	. . . . . . . 8 |- ( ( B C_ A /\ x e. B ) -> x e. A )
6	5	adantrr 753	. . . . . . 7 |- ( ( B C_ A /\ ( x e. B /\ A. y e. B -. y R x ) ) -> x e. A )
7		vex 3203	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. _V
8		vex 3203	. . . . . . . . . . . 12 |- y e. _V
9	7, 8	brcnv 5305	. . . . . . . . . . 11 |- ( x `' R y <-> y R x )
10	9	biimpi 206	. . . . . . . . . 10 |- ( x `' R y -> y R x )
11	10	con3i 150	. . . . . . . . 9 |- ( -. y R x -> -. x `' R y )
12	11	ralimi 2952	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. B -. y R x -> A. y e. B -. x `' R y )
13	12	ad2antll 765	. . . . . . 7 |- ( ( B C_ A /\ ( x e. B /\ A. y e. B -. y R x ) ) -> A. y e. B -. x `' R y )
14		breq2 4657	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = x -> ( y `' R z <-> y `' R x ) )
15	14	rspcev 3309	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. B /\ y `' R x ) -> E. z e. B y `' R z )
16	15	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( x e. B -> ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) )
17	16	ralrimivw 2967	. . . . . . . 8 |- ( x e. B -> A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) )
18	17	ad2antrl 764	. . . . . . 7 |- ( ( B C_ A /\ ( x e. B /\ A. y e. B -. y R x ) ) -> A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) )
19	6, 13, 18	jca32 558	. . . . . 6 |- ( ( B C_ A /\ ( x e. B /\ A. y e. B -. y R x ) ) -> ( x e. A /\ ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) ) )
20	19	ex 450	. . . . 5 |- ( B C_ A -> ( ( x e. B /\ A. y e. B -. y R x ) -> ( x e. A /\ ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) ) ) )
21	20	reximdv2 3014	. . . 4 |- ( B C_ A -> ( E. x e. B A. y e. B -. y R x -> E. x e. A ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) ) )
22	21	adantl 482	. . 3 |- ( ( R Fr A /\ B C_ A ) -> ( E. x e. B A. y e. B -. y R x -> E. x e. A ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) ) )
23	22	3ad2antr2 1227	. 2 |- ( ( R Fr A /\ ( B e. C /\ B C_ A /\ B =/= (/) ) ) -> ( E. x e. B A. y e. B -. y R x -> E. x e. A ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) ) )
24	4, 23	mpd 15	1 |- ( ( R Fr A /\ ( B e. C /\ B C_ A /\ B =/= (/) ) ) -> E. x e. A ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   Fr wfr 5070   `'ccnv 5113

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-fr 5073  df-cnv 5122

This theorem is referenced by:  welb  33531