Theorem indexdom 33529

Description: If for every element of an indexing set A there exists a corresponding element of another set B, then there exists a subset of B consisting only of those elements which are indexed by A, and which is dominated by the set A. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
indexdom	|- ( ( A e. M /\ A. x e. A E. y e. B ph ) -> E. c ( ( c ~<_ A /\ c C_ B ) /\ ( A. x e. A E. y e. c ph /\ A. y e. c E. x e. A ph ) ) )

Distinct variable groups:   A, c, x, y   B, c, x, y   ph, c

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   M( x, y, c)

Proof of Theorem indexdom

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfsbc1v 3455	. . 3 |- F/ y [. ( f ` x ) / y ]. ph
2		sbceq1a 3446	. . 3 |- ( y = ( f ` x ) -> ( ph <-> [. ( f ` x ) / y ]. ph ) )
3	1, 2	ac6gf 33527	. 2 |- ( ( A e. M /\ A. x e. A E. y e. B ph ) -> E. f ( f : A --> B /\ A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph ) )
4		fdm 6051	. . . . . . 7 |- ( f : A --> B -> dom f = A )
5		vex 3203	. . . . . . . 8 |- f e. _V
6	5	dmex 7099	. . . . . . 7 |- dom f e. _V
7	4, 6	syl6eqelr 2710	. . . . . 6 |- ( f : A --> B -> A e. _V )
8		ffn 6045	. . . . . 6 |- ( f : A --> B -> f Fn A )
9		fnrndomg 9358	. . . . . 6 |- ( A e. _V -> ( f Fn A -> ran f ~<_ A ) )
10	7, 8, 9	sylc 65	. . . . 5 |- ( f : A --> B -> ran f ~<_ A )
11	10	adantr 481	. . . 4 |- ( ( f : A --> B /\ A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph ) -> ran f ~<_ A )
12		frn 6053	. . . . 5 |- ( f : A --> B -> ran f C_ B )
13	12	adantr 481	. . . 4 |- ( ( f : A --> B /\ A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph ) -> ran f C_ B )
14		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ x f : A --> B
15		nfra1 2941	. . . . . 6 |- F/ x A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph
16	14, 15	nfan 1828	. . . . 5 |- F/ x ( f : A --> B /\ A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph )
17		ffun 6048	. . . . . . . . . 10 |- ( f : A --> B -> Fun f )
18	17	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( f : A --> B /\ x e. A ) -> Fun f )
19	4	eleq2d 2687	. . . . . . . . . 10 |- ( f : A --> B -> ( x e. dom f <-> x e. A ) )
20	19	biimpar 502	. . . . . . . . 9 |- ( ( f : A --> B /\ x e. A ) -> x e. dom f )
21		fvelrn 6352	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fun f /\ x e. dom f ) -> ( f ` x ) e. ran f )
22	18, 20, 21	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( f : A --> B /\ x e. A ) -> ( f ` x ) e. ran f )
23	22	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( f : A --> B /\ A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph ) /\ x e. A ) -> ( f ` x ) e. ran f )
24		rspa 2930	. . . . . . . 8 |- ( ( A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph /\ x e. A ) -> [. ( f ` x ) / y ]. ph )
25	24	adantll 750	. . . . . . 7 |- ( ( ( f : A --> B /\ A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph ) /\ x e. A ) -> [. ( f ` x ) / y ]. ph )
26		rspesbca 3520	. . . . . . 7 |- ( ( ( f ` x ) e. ran f /\ [. ( f ` x ) / y ]. ph ) -> E. y e. ran f ph )
27	23, 25, 26	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( f : A --> B /\ A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph ) /\ x e. A ) -> E. y e. ran f ph )
28	27	ex 450	. . . . 5 |- ( ( f : A --> B /\ A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph ) -> ( x e. A -> E. y e. ran f ph ) )
29	16, 28	ralrimi 2957	. . . 4 |- ( ( f : A --> B /\ A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph ) -> A. x e. A E. y e. ran f ph )
30		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ y f : A --> B
31		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ y A
32	31, 1	nfral 2945	. . . . . 6 |- F/ y A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph
33	30, 32	nfan 1828	. . . . 5 |- F/ y ( f : A --> B /\ A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph )
34		fvelrnb 6243	. . . . . . . 8 |- ( f Fn A -> ( y e. ran f <-> E. x e. A ( f ` x ) = y ) )
35	8, 34	syl 17	. . . . . . 7 |- ( f : A --> B -> ( y e. ran f <-> E. x e. A ( f ` x ) = y ) )
36	35	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( f : A --> B /\ A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph ) -> ( y e. ran f <-> E. x e. A ( f ` x ) = y ) )
37		rsp 2929	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph -> ( x e. A -> [. ( f ` x ) / y ]. ph ) )
38	37	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( f : A --> B /\ A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph ) -> ( x e. A -> [. ( f ` x ) / y ]. ph ) )
39	2	eqcoms 2630	. . . . . . . . 9 |- ( ( f ` x ) = y -> ( ph <-> [. ( f ` x ) / y ]. ph ) )
40	39	biimprcd 240	. . . . . . . 8 |- ( [. ( f ` x ) / y ]. ph -> ( ( f ` x ) = y -> ph ) )
41	38, 40	syl6 35	. . . . . . 7 |- ( ( f : A --> B /\ A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph ) -> ( x e. A -> ( ( f ` x ) = y -> ph ) ) )
42	16, 41	reximdai 3012	. . . . . 6 |- ( ( f : A --> B /\ A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph ) -> ( E. x e. A ( f ` x ) = y -> E. x e. A ph ) )
43	36, 42	sylbid 230	. . . . 5 |- ( ( f : A --> B /\ A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph ) -> ( y e. ran f -> E. x e. A ph ) )
44	33, 43	ralrimi 2957	. . . 4 |- ( ( f : A --> B /\ A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph ) -> A. y e. ran f E. x e. A ph )
45	5	rnex 7100	. . . . 5 |- ran f e. _V
46		breq1 4656	. . . . . . 7 |- ( c = ran f -> ( c ~<_ A <-> ran f ~<_ A ) )
47		sseq1 3626	. . . . . . 7 |- ( c = ran f -> ( c C_ B <-> ran f C_ B ) )
48	46, 47	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( c = ran f -> ( ( c ~<_ A /\ c C_ B ) <-> ( ran f ~<_ A /\ ran f C_ B ) ) )
49		rexeq 3139	. . . . . . . 8 |- ( c = ran f -> ( E. y e. c ph <-> E. y e. ran f ph ) )
50	49	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( c = ran f -> ( A. x e. A E. y e. c ph <-> A. x e. A E. y e. ran f ph ) )
51		raleq 3138	. . . . . . 7 |- ( c = ran f -> ( A. y e. c E. x e. A ph <-> A. y e. ran f E. x e. A ph ) )
52	50, 51	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( c = ran f -> ( ( A. x e. A E. y e. c ph /\ A. y e. c E. x e. A ph ) <-> ( A. x e. A E. y e. ran f ph /\ A. y e. ran f E. x e. A ph ) ) )
53	48, 52	anbi12d 747	. . . . 5 |- ( c = ran f -> ( ( ( c ~<_ A /\ c C_ B ) /\ ( A. x e. A E. y e. c ph /\ A. y e. c E. x e. A ph ) ) <-> ( ( ran f ~<_ A /\ ran f C_ B ) /\ ( A. x e. A E. y e. ran f ph /\ A. y e. ran f E. x e. A ph ) ) ) )
54	45, 53	spcev 3300	. . . 4 |- ( ( ( ran f ~<_ A /\ ran f C_ B ) /\ ( A. x e. A E. y e. ran f ph /\ A. y e. ran f E. x e. A ph ) ) -> E. c ( ( c ~<_ A /\ c C_ B ) /\ ( A. x e. A E. y e. c ph /\ A. y e. c E. x e. A ph ) ) )
55	11, 13, 29, 44, 54	syl22anc 1327	. . 3 |- ( ( f : A --> B /\ A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph ) -> E. c ( ( c ~<_ A /\ c C_ B ) /\ ( A. x e. A E. y e. c ph /\ A. y e. c E. x e. A ph ) ) )
56	55	exlimiv 1858	. 2 |- ( E. f ( f : A --> B /\ A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph ) -> E. c ( ( c ~<_ A /\ c C_ B ) /\ ( A. x e. A E. y e. c ph /\ A. y e. c E. x e. A ph ) ) )
57	3, 56	syl 17	1 |- ( ( A e. M /\ A. x e. A E. y e. B ph ) -> E. c ( ( c ~<_ A /\ c C_ B ) /\ ( A. x e. A E. y e. c ph /\ A. y e. c E. x e. A ph ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   [.wsbc 3435   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   ran crn 5115   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888   ~<_ cdom 7953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-reg 8497  ax-inf2 8538  ax-ac2 9285

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-r1 8627  df-rank 8628  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939

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