Theorem fundmpss 31664

Description: If a class F is a proper subset of a function G, then dom F C. dom G. (Contributed by Scott Fenton, 20-Apr-2011.)

Assertion

Ref	Expression
fundmpss	|- ( Fun G -> ( F C. G -> dom F C. dom G ) )

Proof of Theorem fundmpss

Dummy variables p x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pssss 3702	. . . . 5 |- ( F C. G -> F C_ G )
2		dmss 5323	. . . . 5 |- ( F C_ G -> dom F C_ dom G )
3	1, 2	syl 17	. . . 4 |- ( F C. G -> dom F C_ dom G )
4	3	a1i 11	. . 3 |- ( Fun G -> ( F C. G -> dom F C_ dom G ) )
5		pssdif 3945	. . . . . . . 8 |- ( F C. G -> ( G \ F ) =/= (/) )
6		n0 3931	. . . . . . . 8 |- ( ( G \ F ) =/= (/) <-> E. p p e. ( G \ F ) )
7	5, 6	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( F C. G -> E. p p e. ( G \ F ) )
8	7	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( Fun G /\ F C. G ) -> E. p p e. ( G \ F ) )
9		funrel 5905	. . . . . . . . . . 11 |- ( Fun G -> Rel G )
10		reldif 5238	. . . . . . . . . . 11 |- ( Rel G -> Rel ( G \ F ) )
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( Fun G -> Rel ( G \ F ) )
12		elrel 5222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Rel ( G \ F ) /\ p e. ( G \ F ) ) -> E. x E. y p = <. x , y >. )
13		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( p = <. x , y >. -> ( p e. ( G \ F ) <-> <. x , y >. e. ( G \ F ) ) )
14		df-br 4654	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x ( G \ F ) y <-> <. x , y >. e. ( G \ F ) )
15	13, 14	syl6bbr 278	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( p = <. x , y >. -> ( p e. ( G \ F ) <-> x ( G \ F ) y ) )
16	15	biimpcd 239	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( p e. ( G \ F ) -> ( p = <. x , y >. -> x ( G \ F ) y ) )
17	16	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Rel ( G \ F ) /\ p e. ( G \ F ) ) -> ( p = <. x , y >. -> x ( G \ F ) y ) )
18	17	2eximdv 1848	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Rel ( G \ F ) /\ p e. ( G \ F ) ) -> ( E. x E. y p = <. x , y >. -> E. x E. y x ( G \ F ) y ) )
19	12, 18	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Rel ( G \ F ) /\ p e. ( G \ F ) ) -> E. x E. y x ( G \ F ) y )
20	19	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( Rel ( G \ F ) -> ( p e. ( G \ F ) -> E. x E. y x ( G \ F ) y ) )
21	11, 20	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( Fun G -> ( p e. ( G \ F ) -> E. x E. y x ( G \ F ) y ) )
22	21	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun G /\ F C. G ) -> ( p e. ( G \ F ) -> E. x E. y x ( G \ F ) y ) )
23		difss 3737	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G \ F ) C_ G
24	23	ssbri 4697	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x ( G \ F ) y -> x G y )
25	24	eximi 1762	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. y x ( G \ F ) y -> E. y x G y )
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun G /\ F C. G ) -> ( E. y x ( G \ F ) y -> E. y x G y ) )
27		brdif 4705	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x ( G \ F ) y <-> ( x G y /\ -. x F y ) )
28	27	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x ( G \ F ) y -> -. x F y )
29	28	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( Fun G /\ F C. G ) /\ x ( G \ F ) y ) -> -. x F y )
30	1	ssbrd 4696	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F C. G -> ( x F z -> x G z ) )
31	30	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( Fun G /\ F C. G ) /\ x ( G \ F ) y ) -> ( x F z -> x G z ) )
32	27	simplbi 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x ( G \ F ) y -> x G y )
33		dffun2 5898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( Fun G <-> ( Rel G /\ A. x A. y A. z ( ( x G y /\ x G z ) -> y = z ) ) )
34	33	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( Fun G -> A. x A. y A. z ( ( x G y /\ x G z ) -> y = z ) )
35		2sp 2056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( A. y A. z ( ( x G y /\ x G z ) -> y = z ) -> ( ( x G y /\ x G z ) -> y = z ) )
36	35	sps 2055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A. x A. y A. z ( ( x G y /\ x G z ) -> y = z ) -> ( ( x G y /\ x G z ) -> y = z ) )
37	34, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( Fun G -> ( ( x G y /\ x G z ) -> y = z ) )
38		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = z -> ( x F y <-> x F z ) )
39	38	biimprd 238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = z -> ( x F z -> x F y ) )
40	37, 39	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( Fun G -> ( ( x G y /\ x G z ) -> ( x F z -> x F y ) ) )
41	40	expd 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Fun G -> ( x G y -> ( x G z -> ( x F z -> x F y ) ) ) )
42	32, 41	syl5 34	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( Fun G -> ( x ( G \ F ) y -> ( x G z -> ( x F z -> x F y ) ) ) )
43	42	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( Fun G /\ x ( G \ F ) y ) -> ( x G z -> ( x F z -> x F y ) ) )
44	43	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( Fun G /\ F C. G ) /\ x ( G \ F ) y ) -> ( x G z -> ( x F z -> x F y ) ) )
45	44	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( Fun G /\ F C. G ) /\ x ( G \ F ) y ) -> ( x F z -> ( x G z -> x F y ) ) )
46	31, 45	mpdd 43	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( Fun G /\ F C. G ) /\ x ( G \ F ) y ) -> ( x F z -> x F y ) )
47	46	exlimdv 1861	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( Fun G /\ F C. G ) /\ x ( G \ F ) y ) -> ( E. z x F z -> x F y ) )
48	29, 47	mtod 189	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( Fun G /\ F C. G ) /\ x ( G \ F ) y ) -> -. E. z x F z )
49	48	ex 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun G /\ F C. G ) -> ( x ( G \ F ) y -> -. E. z x F z ) )
50	49	exlimdv 1861	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun G /\ F C. G ) -> ( E. y x ( G \ F ) y -> -. E. z x F z ) )
51	26, 50	jcad 555	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fun G /\ F C. G ) -> ( E. y x ( G \ F ) y -> ( E. y x G y /\ -. E. z x F z ) ) )
52	51	eximdv 1846	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun G /\ F C. G ) -> ( E. x E. y x ( G \ F ) y -> E. x ( E. y x G y /\ -. E. z x F z ) ) )
53	22, 52	syld 47	. . . . . . 7 |- ( ( Fun G /\ F C. G ) -> ( p e. ( G \ F ) -> E. x ( E. y x G y /\ -. E. z x F z ) ) )
54	53	exlimdv 1861	. . . . . 6 |- ( ( Fun G /\ F C. G ) -> ( E. p p e. ( G \ F ) -> E. x ( E. y x G y /\ -. E. z x F z ) ) )
55	8, 54	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( Fun G /\ F C. G ) -> E. x ( E. y x G y /\ -. E. z x F z ) )
56		nss 3663	. . . . . 6 |- ( -. dom G C_ dom F <-> E. x ( x e. dom G /\ -. x e. dom F ) )
57		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
58	57	eldm 5321	. . . . . . . 8 |- ( x e. dom G <-> E. y x G y )
59	57	eldm 5321	. . . . . . . . 9 |- ( x e. dom F <-> E. z x F z )
60	59	notbii 310	. . . . . . . 8 |- ( -. x e. dom F <-> -. E. z x F z )
61	58, 60	anbi12i 733	. . . . . . 7 |- ( ( x e. dom G /\ -. x e. dom F ) <-> ( E. y x G y /\ -. E. z x F z ) )
62	61	exbii 1774	. . . . . 6 |- ( E. x ( x e. dom G /\ -. x e. dom F ) <-> E. x ( E. y x G y /\ -. E. z x F z ) )
63	56, 62	bitri 264	. . . . 5 |- ( -. dom G C_ dom F <-> E. x ( E. y x G y /\ -. E. z x F z ) )
64	55, 63	sylibr 224	. . . 4 |- ( ( Fun G /\ F C. G ) -> -. dom G C_ dom F )
65	64	ex 450	. . 3 |- ( Fun G -> ( F C. G -> -. dom G C_ dom F ) )
66	4, 65	jcad 555	. 2 |- ( Fun G -> ( F C. G -> ( dom F C_ dom G /\ -. dom G C_ dom F ) ) )
67		dfpss3 3693	. 2 |- ( dom F C. dom G <-> ( dom F C_ dom G /\ -. dom G C_ dom F ) )
68	66, 67	syl6ibr 242	1 |- ( Fun G -> ( F C. G -> dom F C. dom G ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   \ cdif 3571   C_ wss 3574   C. wpss 3575   (/)c0 3915   <.cop 4183   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   Rel wrel 5119   Fun wfun 5882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-fun 5890

This theorem is referenced by: (None)