Theorem fvsetsid 15890

Description: The value of the structure replacement function for its first argument is its second argument. (Contributed by SO, 12-Jul-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fvsetsid	|- ( ( F e. V /\ X e. W /\ Y e. U ) -> ( ( F sSet <. X , Y >. ) ` X ) = Y )

Proof of Theorem fvsetsid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsval 15888	. . . 4 |- ( ( F e. V /\ Y e. U ) -> ( F sSet <. X , Y >. ) = ( ( F |` ( _V \ { X } ) ) u. { <. X , Y >. } ) )
2	1	3adant2 1080	. . 3 |- ( ( F e. V /\ X e. W /\ Y e. U ) -> ( F sSet <. X , Y >. ) = ( ( F |` ( _V \ { X } ) ) u. { <. X , Y >. } ) )
3	2	fveq1d 6193	. 2 |- ( ( F e. V /\ X e. W /\ Y e. U ) -> ( ( F sSet <. X , Y >. ) ` X ) = ( ( ( F |` ( _V \ { X } ) ) u. { <. X , Y >. } ) ` X ) )
4		simp2 1062	. . 3 |- ( ( F e. V /\ X e. W /\ Y e. U ) -> X e. W )
5		simp3 1063	. . 3 |- ( ( F e. V /\ X e. W /\ Y e. U ) -> Y e. U )
6		neldifsn 4321	. . . . 5 |- -. X e. ( _V \ { X } )
7		dmres 5419	. . . . . . 7 |- dom ( F |` ( _V \ { X } ) ) = ( ( _V \ { X } ) i^i dom F )
8		inss1 3833	. . . . . . 7 |- ( ( _V \ { X } ) i^i dom F ) C_ ( _V \ { X } )
9	7, 8	eqsstri 3635	. . . . . 6 |- dom ( F |` ( _V \ { X } ) ) C_ ( _V \ { X } )
10	9	sseli 3599	. . . . 5 |- ( X e. dom ( F |` ( _V \ { X } ) ) -> X e. ( _V \ { X } ) )
11	6, 10	mto 188	. . . 4 |- -. X e. dom ( F |` ( _V \ { X } ) )
12	11	a1i 11	. . 3 |- ( ( F e. V /\ X e. W /\ Y e. U ) -> -. X e. dom ( F |` ( _V \ { X } ) ) )
13		fsnunfv 6453	. . 3 |- ( ( X e. W /\ Y e. U /\ -. X e. dom ( F |` ( _V \ { X } ) ) ) -> ( ( ( F |` ( _V \ { X } ) ) u. { <. X , Y >. } ) ` X ) = Y )
14	4, 5, 12, 13	syl3anc 1326	. 2 |- ( ( F e. V /\ X e. W /\ Y e. U ) -> ( ( ( F |` ( _V \ { X } ) ) u. { <. X , Y >. } ) ` X ) = Y )
15	3, 14	eqtrd 2656	1 |- ( ( F e. V /\ X e. W /\ Y e. U ) -> ( ( F sSet <. X , Y >. ) ` X ) = Y )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   {csn 4177   <.cop 4183   dom cdm 5114   |` cres 5116   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   sSet csts 15855

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-res 5126  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-sets 15864

This theorem is referenced by:  mdetunilem9  20426