Theorem fsnunfv 6453

Description: Recover the added point from a point-added function. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.) (Revised by NM, 18-May-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fsnunfv	|- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ -. X e. dom F ) -> ( ( F u. { <. X , Y >. } ) ` X ) = Y )

Proof of Theorem fsnunfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmres 5419	. . . . . . . . 9 |- dom ( F |` { X } ) = ( { X } i^i dom F )
2		incom 3805	. . . . . . . . 9 |- ( { X } i^i dom F ) = ( dom F i^i { X } )
3	1, 2	eqtri 2644	. . . . . . . 8 |- dom ( F |` { X } ) = ( dom F i^i { X } )
4		disjsn 4246	. . . . . . . . 9 |- ( ( dom F i^i { X } ) = (/) <-> -. X e. dom F )
5	4	biimpri 218	. . . . . . . 8 |- ( -. X e. dom F -> ( dom F i^i { X } ) = (/) )
6	3, 5	syl5eq 2668	. . . . . . 7 |- ( -. X e. dom F -> dom ( F |` { X } ) = (/) )
7	6	3ad2ant3 1084	. . . . . 6 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ -. X e. dom F ) -> dom ( F |` { X } ) = (/) )
8		relres 5426	. . . . . . 7 |- Rel ( F |` { X } )
9		reldm0 5343	. . . . . . 7 |- ( Rel ( F |` { X } ) -> ( ( F |` { X } ) = (/) <-> dom ( F |` { X } ) = (/) ) )
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( ( F |` { X } ) = (/) <-> dom ( F |` { X } ) = (/) )
11	7, 10	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ -. X e. dom F ) -> ( F |` { X } ) = (/) )
12		fnsng 5938	. . . . . . 7 |- ( ( X e. V /\ Y e. W ) -> { <. X , Y >. } Fn { X } )
13	12	3adant3 1081	. . . . . 6 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ -. X e. dom F ) -> { <. X , Y >. } Fn { X } )
14		fnresdm 6000	. . . . . 6 |- ( { <. X , Y >. } Fn { X } -> ( { <. X , Y >. } |` { X } ) = { <. X , Y >. } )
15	13, 14	syl 17	. . . . 5 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ -. X e. dom F ) -> ( { <. X , Y >. } |` { X } ) = { <. X , Y >. } )
16	11, 15	uneq12d 3768	. . . 4 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ -. X e. dom F ) -> ( ( F |` { X } ) u. ( { <. X , Y >. } |` { X } ) ) = ( (/) u. { <. X , Y >. } ) )
17		resundir 5411	. . . 4 |- ( ( F u. { <. X , Y >. } ) |` { X } ) = ( ( F |` { X } ) u. ( { <. X , Y >. } |` { X } ) )
18		uncom 3757	. . . . 5 |- ( (/) u. { <. X , Y >. } ) = ( { <. X , Y >. } u. (/) )
19		un0 3967	. . . . 5 |- ( { <. X , Y >. } u. (/) ) = { <. X , Y >. }
20	18, 19	eqtr2i 2645	. . . 4 |- { <. X , Y >. } = ( (/) u. { <. X , Y >. } )
21	16, 17, 20	3eqtr4g 2681	. . 3 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ -. X e. dom F ) -> ( ( F u. { <. X , Y >. } ) |` { X } ) = { <. X , Y >. } )
22	21	fveq1d 6193	. 2 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ -. X e. dom F ) -> ( ( ( F u. { <. X , Y >. } ) |` { X } ) ` X ) = ( { <. X , Y >. } ` X ) )
23		snidg 4206	. . . 4 |- ( X e. V -> X e. { X } )
24	23	3ad2ant1 1082	. . 3 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ -. X e. dom F ) -> X e. { X } )
25		fvres 6207	. . 3 |- ( X e. { X } -> ( ( ( F u. { <. X , Y >. } ) |` { X } ) ` X ) = ( ( F u. { <. X , Y >. } ) ` X ) )
26	24, 25	syl 17	. 2 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ -. X e. dom F ) -> ( ( ( F u. { <. X , Y >. } ) |` { X } ) ` X ) = ( ( F u. { <. X , Y >. } ) ` X ) )
27		fvsng 6447	. . 3 |- ( ( X e. V /\ Y e. W ) -> ( { <. X , Y >. } ` X ) = Y )
28	27	3adant3 1081	. 2 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ -. X e. dom F ) -> ( { <. X , Y >. } ` X ) = Y )
29	22, 26, 28	3eqtr3d 2664	1 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ -. X e. dom F ) -> ( ( F u. { <. X , Y >. } ) ` X ) = Y )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   u. cun 3572   i^i cin 3573   (/)c0 3915   {csn 4177   <.cop 4183   dom cdm 5114   |` cres 5116   Rel wrel 5119   Fn wfn 5883   ` cfv 5888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-res 5126  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-fv 5896

This theorem is referenced by:  hashf1lem1  13239  cats1un  13475  fvsetsid  15890  islindf4  20177  wlkp1lem3  26572  wlkp1lem7  26576  wlkp1lem8  26577  eupth2eucrct  27077  mapfzcons2  37282  fnchoice  39188  nnsum4primeseven  41688  nnsum4primesevenALTV  41689