Theorem iinpreima 6345

Description: Preimage of an intersection. (Contributed by FL, 16-Apr-2012.)

Assertion

Ref	Expression
iinpreima	|- ( ( Fun F /\ A =/= (/) ) -> ( `' F " |^|_ x e. A B ) = |^|_ x e. A ( `' F " B ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, F

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem iinpreima

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 790	. . . . 5 |- ( ( ( Fun F /\ A =/= (/) ) /\ y e. ( `' F " |^|_ x e. A B ) ) -> Fun F )
2		cnvimass 5485	. . . . . . 7 |- ( `' F " |^|_ x e. A B ) C_ dom F
3	2	sseli 3599	. . . . . 6 |- ( y e. ( `' F " |^|_ x e. A B ) -> y e. dom F )
4	3	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( Fun F /\ A =/= (/) ) /\ y e. ( `' F " |^|_ x e. A B ) ) -> y e. dom F )
5		fvex 6201	. . . . . 6 |- ( F ` y ) e. _V
6		fvimacnvi 6331	. . . . . . 7 |- ( ( Fun F /\ y e. ( `' F " |^|_ x e. A B ) ) -> ( F ` y ) e. |^|_ x e. A B )
7	6	adantlr 751	. . . . . 6 |- ( ( ( Fun F /\ A =/= (/) ) /\ y e. ( `' F " |^|_ x e. A B ) ) -> ( F ` y ) e. |^|_ x e. A B )
8		eliin 4525	. . . . . . 7 |- ( ( F ` y ) e. _V -> ( ( F ` y ) e. |^|_ x e. A B <-> A. x e. A ( F ` y ) e. B ) )
9	8	biimpa 501	. . . . . 6 |- ( ( ( F ` y ) e. _V /\ ( F ` y ) e. |^|_ x e. A B ) -> A. x e. A ( F ` y ) e. B )
10	5, 7, 9	sylancr 695	. . . . 5 |- ( ( ( Fun F /\ A =/= (/) ) /\ y e. ( `' F " |^|_ x e. A B ) ) -> A. x e. A ( F ` y ) e. B )
11		fvimacnv 6332	. . . . . . 7 |- ( ( Fun F /\ y e. dom F ) -> ( ( F ` y ) e. B <-> y e. ( `' F " B ) ) )
12	11	ralbidv 2986	. . . . . 6 |- ( ( Fun F /\ y e. dom F ) -> ( A. x e. A ( F ` y ) e. B <-> A. x e. A y e. ( `' F " B ) ) )
13	12	biimpa 501	. . . . 5 |- ( ( ( Fun F /\ y e. dom F ) /\ A. x e. A ( F ` y ) e. B ) -> A. x e. A y e. ( `' F " B ) )
14	1, 4, 10, 13	syl21anc 1325	. . . 4 |- ( ( ( Fun F /\ A =/= (/) ) /\ y e. ( `' F " |^|_ x e. A B ) ) -> A. x e. A y e. ( `' F " B ) )
15		vex 3203	. . . . 5 |- y e. _V
16		eliin 4525	. . . . 5 |- ( y e. _V -> ( y e. |^|_ x e. A ( `' F " B ) <-> A. x e. A y e. ( `' F " B ) ) )
17	15, 16	ax-mp 5	. . . 4 |- ( y e. |^|_ x e. A ( `' F " B ) <-> A. x e. A y e. ( `' F " B ) )
18	14, 17	sylibr 224	. . 3 |- ( ( ( Fun F /\ A =/= (/) ) /\ y e. ( `' F " |^|_ x e. A B ) ) -> y e. |^|_ x e. A ( `' F " B ) )
19		simpll 790	. . . . . 6 |- ( ( ( Fun F /\ A =/= (/) ) /\ y e. |^|_ x e. A ( `' F " B ) ) -> Fun F )
20	16	biimpd 219	. . . . . . . 8 |- ( y e. _V -> ( y e. |^|_ x e. A ( `' F " B ) -> A. x e. A y e. ( `' F " B ) ) )
21	15, 20	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( y e. |^|_ x e. A ( `' F " B ) -> A. x e. A y e. ( `' F " B ) )
22	21	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( Fun F /\ A =/= (/) ) /\ y e. |^|_ x e. A ( `' F " B ) ) -> A. x e. A y e. ( `' F " B ) )
23		fvimacnvi 6331	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun F /\ y e. ( `' F " B ) ) -> ( F ` y ) e. B )
24	23	ex 450	. . . . . . 7 |- ( Fun F -> ( y e. ( `' F " B ) -> ( F ` y ) e. B ) )
25	24	ralimdv 2963	. . . . . 6 |- ( Fun F -> ( A. x e. A y e. ( `' F " B ) -> A. x e. A ( F ` y ) e. B ) )
26	19, 22, 25	sylc 65	. . . . 5 |- ( ( ( Fun F /\ A =/= (/) ) /\ y e. |^|_ x e. A ( `' F " B ) ) -> A. x e. A ( F ` y ) e. B )
27	5, 8	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( F ` y ) e. |^|_ x e. A B <-> A. x e. A ( F ` y ) e. B )
28	26, 27	sylibr 224	. . . 4 |- ( ( ( Fun F /\ A =/= (/) ) /\ y e. |^|_ x e. A ( `' F " B ) ) -> ( F ` y ) e. |^|_ x e. A B )
29		r19.2zb 4061	. . . . . . . . . 10 |- ( A =/= (/) <-> ( A. x e. A y e. ( `' F " B ) -> E. x e. A y e. ( `' F " B ) ) )
30	29	biimpi 206	. . . . . . . . 9 |- ( A =/= (/) -> ( A. x e. A y e. ( `' F " B ) -> E. x e. A y e. ( `' F " B ) ) )
31		cnvimass 5485	. . . . . . . . . . 11 |- ( `' F " B ) C_ dom F
32	31	sseli 3599	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( `' F " B ) -> y e. dom F )
33	32	rexlimivw 3029	. . . . . . . . 9 |- ( E. x e. A y e. ( `' F " B ) -> y e. dom F )
34	30, 33	syl6 35	. . . . . . . 8 |- ( A =/= (/) -> ( A. x e. A y e. ( `' F " B ) -> y e. dom F ) )
35	17, 34	syl5bi 232	. . . . . . 7 |- ( A =/= (/) -> ( y e. |^|_ x e. A ( `' F " B ) -> y e. dom F ) )
36	35	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( Fun F /\ A =/= (/) ) -> ( y e. |^|_ x e. A ( `' F " B ) -> y e. dom F ) )
37	36	imp 445	. . . . 5 |- ( ( ( Fun F /\ A =/= (/) ) /\ y e. |^|_ x e. A ( `' F " B ) ) -> y e. dom F )
38		fvimacnv 6332	. . . . 5 |- ( ( Fun F /\ y e. dom F ) -> ( ( F ` y ) e. |^|_ x e. A B <-> y e. ( `' F " |^|_ x e. A B ) ) )
39	19, 37, 38	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( Fun F /\ A =/= (/) ) /\ y e. |^|_ x e. A ( `' F " B ) ) -> ( ( F ` y ) e. |^|_ x e. A B <-> y e. ( `' F " |^|_ x e. A B ) ) )
40	28, 39	mpbid 222	. . 3 |- ( ( ( Fun F /\ A =/= (/) ) /\ y e. |^|_ x e. A ( `' F " B ) ) -> y e. ( `' F " |^|_ x e. A B ) )
41	18, 40	impbida 877	. 2 |- ( ( Fun F /\ A =/= (/) ) -> ( y e. ( `' F " |^|_ x e. A B ) <-> y e. |^|_ x e. A ( `' F " B ) ) )
42	41	eqrdv 2620	1 |- ( ( Fun F /\ A =/= (/) ) -> ( `' F " |^|_ x e. A B ) = |^|_ x e. A ( `' F " B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   (/)c0 3915   |^|_ciin 4521   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   "cima 5117   Fun wfun 5882   ` cfv 5888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-fv 5896

This theorem is referenced by:  intpreima  6346