Theorem ineleq 34119

Description: Lemma for inecmo 34120. (Contributed by Peter Mazsa, 29-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ineleq	|- ( A. x e. A A. y e. B ( x = y \/ ( C i^i D ) = (/) ) <-> A. x e. A A. z A. y e. B ( ( z e. C /\ z e. D ) -> x = y ) )

Distinct variable groups:   z, B   z, C   z, D   x, z   y, z

Allowed substitution hints:   A( x, y, z)   B( x, y)   C( x, y)   D( x, y)

Proof of Theorem ineleq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orcom 402	. . . . 5 |- ( ( x = y \/ ( C i^i D ) = (/) ) <-> ( ( C i^i D ) = (/) \/ x = y ) )
2		df-or 385	. . . . 5 |- ( ( ( C i^i D ) = (/) \/ x = y ) <-> ( -. ( C i^i D ) = (/) -> x = y ) )
3		neq0 3930	. . . . . . . 8 |- ( -. ( C i^i D ) = (/) <-> E. z z e. ( C i^i D ) )
4		elin 3796	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( C i^i D ) <-> ( z e. C /\ z e. D ) )
5	4	exbii 1774	. . . . . . . 8 |- ( E. z z e. ( C i^i D ) <-> E. z ( z e. C /\ z e. D ) )
6	3, 5	bitri 264	. . . . . . 7 |- ( -. ( C i^i D ) = (/) <-> E. z ( z e. C /\ z e. D ) )
7	6	imbi1i 339	. . . . . 6 |- ( ( -. ( C i^i D ) = (/) -> x = y ) <-> ( E. z ( z e. C /\ z e. D ) -> x = y ) )
8		19.23v 1902	. . . . . 6 |- ( A. z ( ( z e. C /\ z e. D ) -> x = y ) <-> ( E. z ( z e. C /\ z e. D ) -> x = y ) )
9	7, 8	bitr4i 267	. . . . 5 |- ( ( -. ( C i^i D ) = (/) -> x = y ) <-> A. z ( ( z e. C /\ z e. D ) -> x = y ) )
10	1, 2, 9	3bitri 286	. . . 4 |- ( ( x = y \/ ( C i^i D ) = (/) ) <-> A. z ( ( z e. C /\ z e. D ) -> x = y ) )
11	10	ralbii 2980	. . 3 |- ( A. y e. B ( x = y \/ ( C i^i D ) = (/) ) <-> A. y e. B A. z ( ( z e. C /\ z e. D ) -> x = y ) )
12		ralcom4 3224	. . 3 |- ( A. y e. B A. z ( ( z e. C /\ z e. D ) -> x = y ) <-> A. z A. y e. B ( ( z e. C /\ z e. D ) -> x = y ) )
13	11, 12	bitri 264	. 2 |- ( A. y e. B ( x = y \/ ( C i^i D ) = (/) ) <-> A. z A. y e. B ( ( z e. C /\ z e. D ) -> x = y ) )
14	13	ralbii 2980	1 |- ( A. x e. A A. y e. B ( x = y \/ ( C i^i D ) = (/) ) <-> A. x e. A A. z A. y e. B ( ( z e. C /\ z e. D ) -> x = y ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   i^i cin 3573   (/)c0 3915

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-v 3202  df-dif 3577  df-in 3581  df-nul 3916

This theorem is referenced by:  inecmo  34120