Theorem isassintop 41846

Description: The predicate "is an associative (closed internal binary) operations for a set". (Contributed by FL, 2-Nov-2009.) (Revised by AV, 20-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
isassintop	|- ( M e. V -> ( .o. e. ( assIntOp ` M ) <-> ( .o. : ( M X. M ) --> M /\ A. x e. M A. y e. M A. z e. M ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, M, y, z   x, .o. , y, z

Allowed substitution hints:   V( x, y, z)

Proof of Theorem isassintop

Dummy variable o is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		assintopmap 41842	. . . . 5 |- ( M e. V -> ( assIntOp ` M ) = { o e. ( M ^m ( M X. M ) ) | o assLaw M } )
2	1	eleq2d 2687	. . . 4 |- ( M e. V -> ( .o. e. ( assIntOp ` M ) <-> .o. e. { o e. ( M ^m ( M X. M ) ) | o assLaw M } ) )
3		breq1 4656	. . . . 5 |- ( o = .o. -> ( o assLaw M <-> .o. assLaw M ) )
4	3	elrab 3363	. . . 4 |- ( .o. e. { o e. ( M ^m ( M X. M ) ) | o assLaw M } <-> ( .o. e. ( M ^m ( M X. M ) ) /\ .o. assLaw M ) )
5	2, 4	syl6bb 276	. . 3 |- ( M e. V -> ( .o. e. ( assIntOp ` M ) <-> ( .o. e. ( M ^m ( M X. M ) ) /\ .o. assLaw M ) ) )
6		elmapi 7879	. . . . . 6 |- ( .o. e. ( M ^m ( M X. M ) ) -> .o. : ( M X. M ) --> M )
7	6	ad2antrl 764	. . . . 5 |- ( ( M e. V /\ ( .o. e. ( M ^m ( M X. M ) ) /\ .o. assLaw M ) ) -> .o. : ( M X. M ) --> M )
8		isasslaw 41828	. . . . . . . 8 |- ( ( .o. e. ( M ^m ( M X. M ) ) /\ M e. V ) -> ( .o. assLaw M <-> A. x e. M A. y e. M A. z e. M ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) )
9	8	biimpd 219	. . . . . . 7 |- ( ( .o. e. ( M ^m ( M X. M ) ) /\ M e. V ) -> ( .o. assLaw M -> A. x e. M A. y e. M A. z e. M ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) )
10	9	impancom 456	. . . . . 6 |- ( ( .o. e. ( M ^m ( M X. M ) ) /\ .o. assLaw M ) -> ( M e. V -> A. x e. M A. y e. M A. z e. M ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) )
11	10	impcom 446	. . . . 5 |- ( ( M e. V /\ ( .o. e. ( M ^m ( M X. M ) ) /\ .o. assLaw M ) ) -> A. x e. M A. y e. M A. z e. M ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) )
12	7, 11	jca 554	. . . 4 |- ( ( M e. V /\ ( .o. e. ( M ^m ( M X. M ) ) /\ .o. assLaw M ) ) -> ( .o. : ( M X. M ) --> M /\ A. x e. M A. y e. M A. z e. M ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) )
13	12	ex 450	. . 3 |- ( M e. V -> ( ( .o. e. ( M ^m ( M X. M ) ) /\ .o. assLaw M ) -> ( .o. : ( M X. M ) --> M /\ A. x e. M A. y e. M A. z e. M ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) ) )
14	5, 13	sylbid 230	. 2 |- ( M e. V -> ( .o. e. ( assIntOp ` M ) -> ( .o. : ( M X. M ) --> M /\ A. x e. M A. y e. M A. z e. M ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) ) )
15		isclintop 41843	. . . . . . 7 |- ( M e. V -> ( .o. e. ( clIntOp ` M ) <-> .o. : ( M X. M ) --> M ) )
16	15	biimprcd 240	. . . . . 6 |- ( .o. : ( M X. M ) --> M -> ( M e. V -> .o. e. ( clIntOp ` M ) ) )
17	16	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( .o. : ( M X. M ) --> M /\ A. x e. M A. y e. M A. z e. M ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) -> ( M e. V -> .o. e. ( clIntOp ` M ) ) )
18	17	impcom 446	. . . 4 |- ( ( M e. V /\ ( .o. : ( M X. M ) --> M /\ A. x e. M A. y e. M A. z e. M ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) ) -> .o. e. ( clIntOp ` M ) )
19		sqxpexg 6963	. . . . . . . . 9 |- ( M e. V -> ( M X. M ) e. _V )
20		fex 6490	. . . . . . . . 9 |- ( ( .o. : ( M X. M ) --> M /\ ( M X. M ) e. _V ) -> .o. e. _V )
21	19, 20	sylan2 491	. . . . . . . 8 |- ( ( .o. : ( M X. M ) --> M /\ M e. V ) -> .o. e. _V )
22	21	ancoms 469	. . . . . . 7 |- ( ( M e. V /\ .o. : ( M X. M ) --> M ) -> .o. e. _V )
23		simpl 473	. . . . . . 7 |- ( ( M e. V /\ .o. : ( M X. M ) --> M ) -> M e. V )
24		isasslaw 41828	. . . . . . . 8 |- ( ( .o. e. _V /\ M e. V ) -> ( .o. assLaw M <-> A. x e. M A. y e. M A. z e. M ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) )
25	24	bicomd 213	. . . . . . 7 |- ( ( .o. e. _V /\ M e. V ) -> ( A. x e. M A. y e. M A. z e. M ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) <-> .o. assLaw M ) )
26	22, 23, 25	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( M e. V /\ .o. : ( M X. M ) --> M ) -> ( A. x e. M A. y e. M A. z e. M ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) <-> .o. assLaw M ) )
27	26	biimpd 219	. . . . 5 |- ( ( M e. V /\ .o. : ( M X. M ) --> M ) -> ( A. x e. M A. y e. M A. z e. M ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) -> .o. assLaw M ) )
28	27	impr 649	. . . 4 |- ( ( M e. V /\ ( .o. : ( M X. M ) --> M /\ A. x e. M A. y e. M A. z e. M ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) ) -> .o. assLaw M )
29		assintopval 41841	. . . . . . 7 |- ( M e. V -> ( assIntOp ` M ) = { o e. ( clIntOp ` M ) | o assLaw M } )
30	29	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( M e. V /\ ( .o. : ( M X. M ) --> M /\ A. x e. M A. y e. M A. z e. M ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) ) -> ( assIntOp ` M ) = { o e. ( clIntOp ` M ) | o assLaw M } )
31	30	eleq2d 2687	. . . . 5 |- ( ( M e. V /\ ( .o. : ( M X. M ) --> M /\ A. x e. M A. y e. M A. z e. M ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) ) -> ( .o. e. ( assIntOp ` M ) <-> .o. e. { o e. ( clIntOp ` M ) | o assLaw M } ) )
32	3	elrab 3363	. . . . 5 |- ( .o. e. { o e. ( clIntOp ` M ) | o assLaw M } <-> ( .o. e. ( clIntOp ` M ) /\ .o. assLaw M ) )
33	31, 32	syl6bb 276	. . . 4 |- ( ( M e. V /\ ( .o. : ( M X. M ) --> M /\ A. x e. M A. y e. M A. z e. M ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) ) -> ( .o. e. ( assIntOp ` M ) <-> ( .o. e. ( clIntOp ` M ) /\ .o. assLaw M ) ) )
34	18, 28, 33	mpbir2and 957	. . 3 |- ( ( M e. V /\ ( .o. : ( M X. M ) --> M /\ A. x e. M A. y e. M A. z e. M ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) ) -> .o. e. ( assIntOp ` M ) )
35	34	ex 450	. 2 |- ( M e. V -> ( ( .o. : ( M X. M ) --> M /\ A. x e. M A. y e. M A. z e. M ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) -> .o. e. ( assIntOp ` M ) ) )
36	14, 35	impbid 202	1 |- ( M e. V -> ( .o. e. ( assIntOp ` M ) <-> ( .o. : ( M X. M ) --> M /\ A. x e. M A. y e. M A. z e. M ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   assLaw casslaw 41820   clIntOp cclintop 41833   assIntOp cassintop 41834

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-map 7859  df-asslaw 41824  df-intop 41835  df-clintop 41836  df-assintop 41837

This theorem is referenced by: (None)