Theorem iscldtop 20899

Description: A family is the closed sets of a topology iff it is a Moore collection and closed under finite union. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
iscldtop	|- ( K e. ( Clsd " (TopOn ` B ) ) <-> ( K e. (Moore ` B ) /\ (/) e. K /\ A. x e. K A. y e. K ( x u. y ) e. K ) )

Distinct variable groups:   x, B, y   x, K, y

Proof of Theorem iscldtop

Dummy variables a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fncld 20826	. . . . 5 |- Clsd Fn Top
2		fnfun 5988	. . . . 5 |- ( Clsd Fn Top -> Fun Clsd )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 |- Fun Clsd
4		fvelima 6248	. . . 4 |- ( ( Fun Clsd /\ K e. ( Clsd " (TopOn ` B ) ) ) -> E. a e. (TopOn ` B ) ( Clsd ` a ) = K )
5	3, 4	mpan 706	. . 3 |- ( K e. ( Clsd " (TopOn ` B ) ) -> E. a e. (TopOn ` B ) ( Clsd ` a ) = K )
6		cldmreon 20898	. . . . . 6 |- ( a e. (TopOn ` B ) -> ( Clsd ` a ) e. (Moore ` B ) )
7		topontop 20718	. . . . . . 7 |- ( a e. (TopOn ` B ) -> a e. Top )
8		0cld 20842	. . . . . . 7 |- ( a e. Top -> (/) e. ( Clsd ` a ) )
9	7, 8	syl 17	. . . . . 6 |- ( a e. (TopOn ` B ) -> (/) e. ( Clsd ` a ) )
10		uncld 20845	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( Clsd ` a ) /\ y e. ( Clsd ` a ) ) -> ( x u. y ) e. ( Clsd ` a ) )
11	10	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( a e. (TopOn ` B ) /\ ( x e. ( Clsd ` a ) /\ y e. ( Clsd ` a ) ) ) -> ( x u. y ) e. ( Clsd ` a ) )
12	11	ralrimivva 2971	. . . . . 6 |- ( a e. (TopOn ` B ) -> A. x e. ( Clsd ` a ) A. y e. ( Clsd ` a ) ( x u. y ) e. ( Clsd ` a ) )
13	6, 9, 12	3jca 1242	. . . . 5 |- ( a e. (TopOn ` B ) -> ( ( Clsd ` a ) e. (Moore ` B ) /\ (/) e. ( Clsd ` a ) /\ A. x e. ( Clsd ` a ) A. y e. ( Clsd ` a ) ( x u. y ) e. ( Clsd ` a ) ) )
14		eleq1 2689	. . . . . 6 |- ( ( Clsd ` a ) = K -> ( ( Clsd ` a ) e. (Moore ` B ) <-> K e. (Moore ` B ) ) )
15		eleq2 2690	. . . . . 6 |- ( ( Clsd ` a ) = K -> ( (/) e. ( Clsd ` a ) <-> (/) e. K ) )
16		eleq2 2690	. . . . . . . 8 |- ( ( Clsd ` a ) = K -> ( ( x u. y ) e. ( Clsd ` a ) <-> ( x u. y ) e. K ) )
17	16	raleqbi1dv 3146	. . . . . . 7 |- ( ( Clsd ` a ) = K -> ( A. y e. ( Clsd ` a ) ( x u. y ) e. ( Clsd ` a ) <-> A. y e. K ( x u. y ) e. K ) )
18	17	raleqbi1dv 3146	. . . . . 6 |- ( ( Clsd ` a ) = K -> ( A. x e. ( Clsd ` a ) A. y e. ( Clsd ` a ) ( x u. y ) e. ( Clsd ` a ) <-> A. x e. K A. y e. K ( x u. y ) e. K ) )
19	14, 15, 18	3anbi123d 1399	. . . . 5 |- ( ( Clsd ` a ) = K -> ( ( ( Clsd ` a ) e. (Moore ` B ) /\ (/) e. ( Clsd ` a ) /\ A. x e. ( Clsd ` a ) A. y e. ( Clsd ` a ) ( x u. y ) e. ( Clsd ` a ) ) <-> ( K e. (Moore ` B ) /\ (/) e. K /\ A. x e. K A. y e. K ( x u. y ) e. K ) ) )
20	13, 19	syl5ibcom 235	. . . 4 |- ( a e. (TopOn ` B ) -> ( ( Clsd ` a ) = K -> ( K e. (Moore ` B ) /\ (/) e. K /\ A. x e. K A. y e. K ( x u. y ) e. K ) ) )
21	20	rexlimiv 3027	. . 3 |- ( E. a e. (TopOn ` B ) ( Clsd ` a ) = K -> ( K e. (Moore ` B ) /\ (/) e. K /\ A. x e. K A. y e. K ( x u. y ) e. K ) )
22	5, 21	syl 17	. 2 |- ( K e. ( Clsd " (TopOn ` B ) ) -> ( K e. (Moore ` B ) /\ (/) e. K /\ A. x e. K A. y e. K ( x u. y ) e. K ) )
23		simp1 1061	. . . . 5 |- ( ( K e. (Moore ` B ) /\ (/) e. K /\ A. x e. K A. y e. K ( x u. y ) e. K ) -> K e. (Moore ` B ) )
24		simp2 1062	. . . . 5 |- ( ( K e. (Moore ` B ) /\ (/) e. K /\ A. x e. K A. y e. K ( x u. y ) e. K ) -> (/) e. K )
25		uneq1 3760	. . . . . . . . . 10 |- ( x = b -> ( x u. y ) = ( b u. y ) )
26	25	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( x = b -> ( ( x u. y ) e. K <-> ( b u. y ) e. K ) )
27		uneq2 3761	. . . . . . . . . 10 |- ( y = c -> ( b u. y ) = ( b u. c ) )
28	27	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( y = c -> ( ( b u. y ) e. K <-> ( b u. c ) e. K ) )
29	26, 28	rspc2v 3322	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. K /\ c e. K ) -> ( A. x e. K A. y e. K ( x u. y ) e. K -> ( b u. c ) e. K ) )
30	29	com12 32	. . . . . . 7 |- ( A. x e. K A. y e. K ( x u. y ) e. K -> ( ( b e. K /\ c e. K ) -> ( b u. c ) e. K ) )
31	30	3ad2ant3 1084	. . . . . 6 |- ( ( K e. (Moore ` B ) /\ (/) e. K /\ A. x e. K A. y e. K ( x u. y ) e. K ) -> ( ( b e. K /\ c e. K ) -> ( b u. c ) e. K ) )
32	31	3impib 1262	. . . . 5 |- ( ( ( K e. (Moore ` B ) /\ (/) e. K /\ A. x e. K A. y e. K ( x u. y ) e. K ) /\ b e. K /\ c e. K ) -> ( b u. c ) e. K )
33		eqid 2622	. . . . 5 |- { a e. ~P B | ( B \ a ) e. K } = { a e. ~P B | ( B \ a ) e. K }
34	23, 24, 32, 33	mretopd 20896	. . . 4 |- ( ( K e. (Moore ` B ) /\ (/) e. K /\ A. x e. K A. y e. K ( x u. y ) e. K ) -> ( { a e. ~P B | ( B \ a ) e. K } e. (TopOn ` B ) /\ K = ( Clsd ` { a e. ~P B | ( B \ a ) e. K } ) ) )
35	34	simprd 479	. . 3 |- ( ( K e. (Moore ` B ) /\ (/) e. K /\ A. x e. K A. y e. K ( x u. y ) e. K ) -> K = ( Clsd ` { a e. ~P B | ( B \ a ) e. K } ) )
36	34	simpld 475	. . . 4 |- ( ( K e. (Moore ` B ) /\ (/) e. K /\ A. x e. K A. y e. K ( x u. y ) e. K ) -> { a e. ~P B | ( B \ a ) e. K } e. (TopOn ` B ) )
37	7	ssriv 3607	. . . . . 6 |- (TopOn ` B ) C_ Top
38		fndm 5990	. . . . . . 7 |- ( Clsd Fn Top -> dom Clsd = Top )
39	1, 38	ax-mp 5	. . . . . 6 |- dom Clsd = Top
40	37, 39	sseqtr4i 3638	. . . . 5 |- (TopOn ` B ) C_ dom Clsd
41		funfvima2 6493	. . . . 5 |- ( ( Fun Clsd /\ (TopOn ` B ) C_ dom Clsd ) -> ( { a e. ~P B | ( B \ a ) e. K } e. (TopOn ` B ) -> ( Clsd ` { a e. ~P B | ( B \ a ) e. K } ) e. ( Clsd " (TopOn ` B ) ) ) )
42	3, 40, 41	mp2an 708	. . . 4 |- ( { a e. ~P B | ( B \ a ) e. K } e. (TopOn ` B ) -> ( Clsd ` { a e. ~P B | ( B \ a ) e. K } ) e. ( Clsd " (TopOn ` B ) ) )
43	36, 42	syl 17	. . 3 |- ( ( K e. (Moore ` B ) /\ (/) e. K /\ A. x e. K A. y e. K ( x u. y ) e. K ) -> ( Clsd ` { a e. ~P B | ( B \ a ) e. K } ) e. ( Clsd " (TopOn ` B ) ) )
44	35, 43	eqeltrd 2701	. 2 |- ( ( K e. (Moore ` B ) /\ (/) e. K /\ A. x e. K A. y e. K ( x u. y ) e. K ) -> K e. ( Clsd " (TopOn ` B ) ) )
45	22, 44	impbii 199	1 |- ( K e. ( Clsd " (TopOn ` B ) ) <-> ( K e. (Moore ` B ) /\ (/) e. K /\ A. x e. K A. y e. K ( x u. y ) e. K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   dom cdm 5114   "cima 5117   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   ` cfv 5888  Moorecmre 16242   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   Clsdccld 20820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-fv 5896  df-mre 16246  df-top 20699  df-topon 20716  df-cld 20823

This theorem is referenced by: (None)