Theorem isibl 23532

Description: The predicate " F is integrable". The "integrable" predicate corresponds roughly to the range of validity of S. A B _d x, which is to say that the expression S. A B _d x doesn't make sense unless ( x e. A |-> B ) e. L^1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isibl.1	|- ( ph -> G = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ T ) , T , 0 ) ) )
isibl.2	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> T = ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) )
isibl.3	|- ( ph -> dom F = A )
isibl.4	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( F ` x ) = B )

Assertion

Ref	Expression
isibl	|- ( ph -> ( F e. L^1 <-> ( F e. MblFn /\ A. k e. ( 0 ... 3 ) ( S.2 ` G ) e. RR ) ) )

Distinct variable groups:   x, k, A   B, k   k, F, x   ph, k, x

Allowed substitution hints:   B( x)   T( x, k)   G( x, k)

Proof of Theorem isibl

Dummy variables f y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6201	. . . . . . . . 9 |- ( Re ` ( ( f ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) e. _V
2		breq2 4657	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( Re ` ( ( f ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) -> ( 0 <_ y <-> 0 <_ ( Re ` ( ( f ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) ) )
3	2	anbi2d 740	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( Re ` ( ( f ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) -> ( ( x e. dom f /\ 0 <_ y ) <-> ( x e. dom f /\ 0 <_ ( Re ` ( ( f ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) ) ) )
4		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( Re ` ( ( f ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) -> y = ( Re ` ( ( f ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) )
5	3, 4	ifbieq1d 4109	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( Re ` ( ( f ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) -> if ( ( x e. dom f /\ 0 <_ y ) , y , 0 ) = if ( ( x e. dom f /\ 0 <_ ( Re ` ( ( f ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( ( f ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) )
6	1, 5	csbie 3559	. . . . . . . 8 |- [_ ( Re ` ( ( f ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) / y ]_ if ( ( x e. dom f /\ 0 <_ y ) , y , 0 ) = if ( ( x e. dom f /\ 0 <_ ( Re ` ( ( f ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( ( f ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 )
7		dmeq 5324	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = F -> dom f = dom F )
8	7	eleq2d 2687	. . . . . . . . . 10 |- ( f = F -> ( x e. dom f <-> x e. dom F ) )
9		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = F -> ( f ` x ) = ( F ` x ) )
10	9	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = F -> ( ( f ` x ) / ( _i ^ k ) ) = ( ( F ` x ) / ( _i ^ k ) ) )
11	10	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = F -> ( Re ` ( ( f ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) = ( Re ` ( ( F ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) )
12	11	breq2d 4665	. . . . . . . . . 10 |- ( f = F -> ( 0 <_ ( Re ` ( ( f ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) <-> 0 <_ ( Re ` ( ( F ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) ) )
13	8, 12	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 |- ( f = F -> ( ( x e. dom f /\ 0 <_ ( Re ` ( ( f ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) ) <-> ( x e. dom F /\ 0 <_ ( Re ` ( ( F ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) ) ) )
14	13, 11	ifbieq1d 4109	. . . . . . . 8 |- ( f = F -> if ( ( x e. dom f /\ 0 <_ ( Re ` ( ( f ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( ( f ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) = if ( ( x e. dom F /\ 0 <_ ( Re ` ( ( F ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( ( F ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) )
15	6, 14	syl5eq 2668	. . . . . . 7 |- ( f = F -> [_ ( Re ` ( ( f ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) / y ]_ if ( ( x e. dom f /\ 0 <_ y ) , y , 0 ) = if ( ( x e. dom F /\ 0 <_ ( Re ` ( ( F ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( ( F ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) )
16	15	mpteq2dv 4745	. . . . . 6 |- ( f = F -> ( x e. RR |-> [_ ( Re ` ( ( f ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) / y ]_ if ( ( x e. dom f /\ 0 <_ y ) , y , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. dom F /\ 0 <_ ( Re ` ( ( F ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( ( F ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) )
17	16	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( f = F -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> [_ ( Re ` ( ( f ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) / y ]_ if ( ( x e. dom f /\ 0 <_ y ) , y , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. dom F /\ 0 <_ ( Re ` ( ( F ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( ( F ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) )
18	17	eleq1d 2686	. . . 4 |- ( f = F -> ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> [_ ( Re ` ( ( f ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) / y ]_ if ( ( x e. dom f /\ 0 <_ y ) , y , 0 ) ) ) e. RR <-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. dom F /\ 0 <_ ( Re ` ( ( F ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( ( F ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) )
19	18	ralbidv 2986	. . 3 |- ( f = F -> ( A. k e. ( 0 ... 3 ) ( S.2 ` ( x e. RR |-> [_ ( Re ` ( ( f ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) / y ]_ if ( ( x e. dom f /\ 0 <_ y ) , y , 0 ) ) ) e. RR <-> A. k e. ( 0 ... 3 ) ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. dom F /\ 0 <_ ( Re ` ( ( F ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( ( F ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) )
20		df-ibl 23391	. . 3 |- L^1 = { f e. MblFn | A. k e. ( 0 ... 3 ) ( S.2 ` ( x e. RR |-> [_ ( Re ` ( ( f ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) / y ]_ if ( ( x e. dom f /\ 0 <_ y ) , y , 0 ) ) ) e. RR }
21	19, 20	elrab2 3366	. 2 |- ( F e. L^1 <-> ( F e. MblFn /\ A. k e. ( 0 ... 3 ) ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. dom F /\ 0 <_ ( Re ` ( ( F ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( ( F ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) )
22		isibl.3	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> dom F = A )
23	22	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. dom F <-> x e. A ) )
24	23	anbi1d 741	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( x e. dom F /\ 0 <_ ( Re ` ( ( F ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) ) <-> ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( ( F ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) ) ) )
25	24	ifbid 4108	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> if ( ( x e. dom F /\ 0 <_ ( Re ` ( ( F ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( ( F ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) = if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( ( F ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( ( F ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) )
26		isibl.4	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( F ` x ) = B )
27	26	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( F ` x ) / ( _i ^ k ) ) = ( B / ( _i ^ k ) ) )
28	27	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Re ` ( ( F ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) = ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) )
29		isibl.2	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> T = ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) )
30	28, 29	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Re ` ( ( F ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) = T )
31	30	ibllem 23531	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( ( F ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( ( F ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) = if ( ( x e. A /\ 0 <_ T ) , T , 0 ) )
32	25, 31	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ph -> if ( ( x e. dom F /\ 0 <_ ( Re ` ( ( F ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( ( F ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) = if ( ( x e. A /\ 0 <_ T ) , T , 0 ) )
33	32	mpteq2dv 4745	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. dom F /\ 0 <_ ( Re ` ( ( F ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( ( F ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ T ) , T , 0 ) ) )
34		isibl.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> G = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ T ) , T , 0 ) ) )
35	33, 34	eqtr4d 2659	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. dom F /\ 0 <_ ( Re ` ( ( F ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( ( F ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) = G )
36	35	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. dom F /\ 0 <_ ( Re ` ( ( F ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( ( F ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` G ) )
37	36	eleq1d 2686	. . . 4 |- ( ph -> ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. dom F /\ 0 <_ ( Re ` ( ( F ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( ( F ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR <-> ( S.2 ` G ) e. RR ) )
38	37	ralbidv 2986	. . 3 |- ( ph -> ( A. k e. ( 0 ... 3 ) ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. dom F /\ 0 <_ ( Re ` ( ( F ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( ( F ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR <-> A. k e. ( 0 ... 3 ) ( S.2 ` G ) e. RR ) )
39	38	anbi2d 740	. 2 |- ( ph -> ( ( F e. MblFn /\ A. k e. ( 0 ... 3 ) ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. dom F /\ 0 <_ ( Re ` ( ( F ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( ( F ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) <-> ( F e. MblFn /\ A. k e. ( 0 ... 3 ) ( S.2 ` G ) e. RR ) ) )
40	21, 39	syl5bb 272	1 |- ( ph -> ( F e. L^1 <-> ( F e. MblFn /\ A. k e. ( 0 ... 3 ) ( S.2 ` G ) e. RR ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   [_csb 3533   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   _ici 9938   <_ cle 10075   / cdiv 10684   3c3 11071   ...cfz 12326   ^cexp 12860   Recre 13837  MblFncmbf 23383   S.2citg2 23385   L^1cibl 23386

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-nul 4789

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fv 5896  df-ov 6653  df-ibl 23391

This theorem is referenced by:  isibl2  23533  ibl0  23553  iblempty  40181