Theorem isibl2 23533

Description: The predicate " F is integrable" when F is a mapping operation. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isibl.1	|- ( ph -> G = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ T ) , T , 0 ) ) )
isibl.2	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> T = ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) )
isibl2.3	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. V )

Assertion

Ref	Expression
isibl2	|- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) e. L^1 <-> ( ( x e. A |-> B ) e. MblFn /\ A. k e. ( 0 ... 3 ) ( S.2 ` G ) e. RR ) ) )

Distinct variable groups:   x, k, A   B, k   ph, k, x   x, V

Allowed substitution hints:   B( x)   T( x, k)   G( x, k)   V( k)

Proof of Theorem isibl2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isibl.1	. . 3 |- ( ph -> G = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ T ) , T , 0 ) ) )
2		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ x y e. A
3		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ x 0
4		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ x <_
5		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ x Re
6		nffvmpt1 6199	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( ( x e. A |-> B ) ` y )
7		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x /
8		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( _i ^ k )
9	6, 7, 8	nfov 6676	. . . . . . . . 9 |- F/_ x ( ( ( x e. A |-> B ) ` y ) / ( _i ^ k ) )
10	5, 9	nffv 6198	. . . . . . . 8 |- F/_ x ( Re ` ( ( ( x e. A |-> B ) ` y ) / ( _i ^ k ) ) )
11	3, 4, 10	nfbr 4699	. . . . . . 7 |- F/ x 0 <_ ( Re ` ( ( ( x e. A |-> B ) ` y ) / ( _i ^ k ) ) )
12	2, 11	nfan 1828	. . . . . 6 |- F/ x ( y e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( ( ( x e. A |-> B ) ` y ) / ( _i ^ k ) ) ) )
13	12, 10, 3	nfif 4115	. . . . 5 |- F/_ x if ( ( y e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( ( ( x e. A |-> B ) ` y ) / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( ( ( x e. A |-> B ) ` y ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 )
14		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ y if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( ( ( x e. A |-> B ) ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( ( ( x e. A |-> B ) ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 )
15		eleq1 2689	. . . . . . 7 |- ( y = x -> ( y e. A <-> x e. A ) )
16		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( y = x -> ( ( x e. A |-> B ) ` y ) = ( ( x e. A |-> B ) ` x ) )
17	16	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( y = x -> ( ( ( x e. A |-> B ) ` y ) / ( _i ^ k ) ) = ( ( ( x e. A |-> B ) ` x ) / ( _i ^ k ) ) )
18	17	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( y = x -> ( Re ` ( ( ( x e. A |-> B ) ` y ) / ( _i ^ k ) ) ) = ( Re ` ( ( ( x e. A |-> B ) ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) )
19	18	breq2d 4665	. . . . . . 7 |- ( y = x -> ( 0 <_ ( Re ` ( ( ( x e. A |-> B ) ` y ) / ( _i ^ k ) ) ) <-> 0 <_ ( Re ` ( ( ( x e. A |-> B ) ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) ) )
20	15, 19	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( y = x -> ( ( y e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( ( ( x e. A |-> B ) ` y ) / ( _i ^ k ) ) ) ) <-> ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( ( ( x e. A |-> B ) ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) ) ) )
21	20, 18	ifbieq1d 4109	. . . . 5 |- ( y = x -> if ( ( y e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( ( ( x e. A |-> B ) ` y ) / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( ( ( x e. A |-> B ) ` y ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) = if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( ( ( x e. A |-> B ) ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( ( ( x e. A |-> B ) ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) )
22	13, 14, 21	cbvmpt 4749	. . . 4 |- ( y e. RR |-> if ( ( y e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( ( ( x e. A |-> B ) ` y ) / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( ( ( x e. A |-> B ) ` y ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( ( ( x e. A |-> B ) ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( ( ( x e. A |-> B ) ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) )
23		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> x e. A )
24		isibl2.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. V )
25		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B )
26	25	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. A /\ B e. V ) -> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) = B )
27	23, 24, 26	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) = B )
28	27	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> B ) ` x ) / ( _i ^ k ) ) = ( B / ( _i ^ k ) ) )
29	28	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Re ` ( ( ( x e. A |-> B ) ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) = ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) )
30		isibl.2	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> T = ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) )
31	29, 30	eqtr4d 2659	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Re ` ( ( ( x e. A |-> B ) ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) = T )
32	31	ibllem 23531	. . . . 5 |- ( ph -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( ( ( x e. A |-> B ) ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( ( ( x e. A |-> B ) ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) = if ( ( x e. A /\ 0 <_ T ) , T , 0 ) )
33	32	mpteq2dv 4745	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( ( ( x e. A |-> B ) ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( ( ( x e. A |-> B ) ` x ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ T ) , T , 0 ) ) )
34	22, 33	syl5eq 2668	. . 3 |- ( ph -> ( y e. RR |-> if ( ( y e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( ( ( x e. A |-> B ) ` y ) / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( ( ( x e. A |-> B ) ` y ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ T ) , T , 0 ) ) )
35	1, 34	eqtr4d 2659	. 2 |- ( ph -> G = ( y e. RR |-> if ( ( y e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( ( ( x e. A |-> B ) ` y ) / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( ( ( x e. A |-> B ) ` y ) / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) )
36		eqidd 2623	. 2 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( Re ` ( ( ( x e. A |-> B ) ` y ) / ( _i ^ k ) ) ) = ( Re ` ( ( ( x e. A |-> B ) ` y ) / ( _i ^ k ) ) ) )
37	25, 24	dmmptd 6024	. 2 |- ( ph -> dom ( x e. A |-> B ) = A )
38		eqidd 2623	. 2 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( ( x e. A |-> B ) ` y ) = ( ( x e. A |-> B ) ` y ) )
39	35, 36, 37, 38	isibl 23532	1 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) e. L^1 <-> ( ( x e. A |-> B ) e. MblFn /\ A. k e. ( 0 ... 3 ) ( S.2 ` G ) e. RR ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   _ici 9938   <_ cle 10075   / cdiv 10684   3c3 11071   ...cfz 12326   ^cexp 12860   Recre 13837  MblFncmbf 23383   S.2citg2 23385   L^1cibl 23386

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ov 6653  df-ibl 23391

This theorem is referenced by:  iblitg  23535  iblcnlem1  23554  iblss  23571  iblss2  23572  itgeqa  23580  iblconst  23584  iblabsr  23596  iblmulc2  23597  iblmulc2nc  33475  iblsplit  40182