Theorem islsati 34281

Description: A 1-dim subspace (atom) (of a left module or left vector space) equals the span of some vector. (Contributed by NM, 1-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
islsati.v	|- V = ( Base ` W )
islsati.n	|- N = ( LSpan ` W )
islsati.a	|- A = (LSAtoms ` W )

Assertion

Ref	Expression
islsati	|- ( ( W e. X /\ U e. A ) -> E. v e. V U = ( N ` { v } ) )

Distinct variable groups:   v, N   v, U   v, V   v, W   v, X

Allowed substitution hint:   A( v)

Proof of Theorem islsati

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difss 3737	. 2 |- ( V \ { ( 0g ` W ) } ) C_ V
2		islsati.v	. . . 4 |- V = ( Base ` W )
3		islsati.n	. . . 4 |- N = ( LSpan ` W )
4		eqid 2622	. . . 4 |- ( 0g ` W ) = ( 0g ` W )
5		islsati.a	. . . 4 |- A = (LSAtoms ` W )
6	2, 3, 4, 5	islsat 34278	. . 3 |- ( W e. X -> ( U e. A <-> E. v e. ( V \ { ( 0g ` W ) } ) U = ( N ` { v } ) ) )
7	6	biimpa 501	. 2 |- ( ( W e. X /\ U e. A ) -> E. v e. ( V \ { ( 0g ` W ) } ) U = ( N ` { v } ) )
8		ssrexv 3667	. 2 |- ( ( V \ { ( 0g ` W ) } ) C_ V -> ( E. v e. ( V \ { ( 0g ` W ) } ) U = ( N ` { v } ) -> E. v e. V U = ( N ` { v } ) ) )
9	1, 7, 8	mpsyl 68	1 |- ( ( W e. X /\ U e. A ) -> E. v e. V U = ( N ` { v } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   \ cdif 3571   C_ wss 3574   {csn 4177   ` cfv 5888   Basecbs 15857   0gc0g 16100   LSpanclspn 18971  LSAtomsclsa 34261

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-lsatoms 34263

This theorem is referenced by:  lsmsatcv  34297  dihjat2  36720  dvh4dimlem  36732  lcfl8  36791  mapdval2N  36919  mapdspex  36957  hdmaprnlem16N  37154