Theorem isome 40708

Description: Express the predicate " O is an outer measure." Definition 113A of [Fremlin1] p. 19. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
isome	|- ( O e. V -> ( O e. OutMeas <-> ( ( ( ( O : dom O --> ( 0 [,] +oo ) /\ dom O = ~P U. dom O ) /\ ( O ` (/) ) = 0 ) /\ A. y e. ~P U. dom O A. z e. ~P y ( O ` z ) <_ ( O ` y ) ) /\ A. y e. ~P dom O ( y ~<_ om -> ( O ` U. y ) <_ (Σ^ ` ( O |` y ) ) ) ) ) )

Distinct variable group:   y, O, z

Allowed substitution hints:   V( y, z)

Proof of Theorem isome

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . . . 7 |- ( x = O -> x = O )
2		dmeq 5324	. . . . . . 7 |- ( x = O -> dom x = dom O )
3	1, 2	feq12d 6033	. . . . . 6 |- ( x = O -> ( x : dom x --> ( 0 [,] +oo ) <-> O : dom O --> ( 0 [,] +oo ) ) )
4	2	unieqd 4446	. . . . . . . 8 |- ( x = O -> U. dom x = U. dom O )
5	4	pweqd 4163	. . . . . . 7 |- ( x = O -> ~P U. dom x = ~P U. dom O )
6	2, 5	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( x = O -> ( dom x = ~P U. dom x <-> dom O = ~P U. dom O ) )
7	3, 6	anbi12d 747	. . . . 5 |- ( x = O -> ( ( x : dom x --> ( 0 [,] +oo ) /\ dom x = ~P U. dom x ) <-> ( O : dom O --> ( 0 [,] +oo ) /\ dom O = ~P U. dom O ) ) )
8		fveq1 6190	. . . . . 6 |- ( x = O -> ( x ` (/) ) = ( O ` (/) ) )
9	8	eqeq1d 2624	. . . . 5 |- ( x = O -> ( ( x ` (/) ) = 0 <-> ( O ` (/) ) = 0 ) )
10	7, 9	anbi12d 747	. . . 4 |- ( x = O -> ( ( ( x : dom x --> ( 0 [,] +oo ) /\ dom x = ~P U. dom x ) /\ ( x ` (/) ) = 0 ) <-> ( ( O : dom O --> ( 0 [,] +oo ) /\ dom O = ~P U. dom O ) /\ ( O ` (/) ) = 0 ) ) )
11		fveq1 6190	. . . . . . 7 |- ( x = O -> ( x ` z ) = ( O ` z ) )
12		fveq1 6190	. . . . . . 7 |- ( x = O -> ( x ` y ) = ( O ` y ) )
13	11, 12	breq12d 4666	. . . . . 6 |- ( x = O -> ( ( x ` z ) <_ ( x ` y ) <-> ( O ` z ) <_ ( O ` y ) ) )
14	13	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( x = O -> ( A. z e. ~P y ( x ` z ) <_ ( x ` y ) <-> A. z e. ~P y ( O ` z ) <_ ( O ` y ) ) )
15	5, 14	raleqbidv 3152	. . . 4 |- ( x = O -> ( A. y e. ~P U. dom x A. z e. ~P y ( x ` z ) <_ ( x ` y ) <-> A. y e. ~P U. dom O A. z e. ~P y ( O ` z ) <_ ( O ` y ) ) )
16	10, 15	anbi12d 747	. . 3 |- ( x = O -> ( ( ( ( x : dom x --> ( 0 [,] +oo ) /\ dom x = ~P U. dom x ) /\ ( x ` (/) ) = 0 ) /\ A. y e. ~P U. dom x A. z e. ~P y ( x ` z ) <_ ( x ` y ) ) <-> ( ( ( O : dom O --> ( 0 [,] +oo ) /\ dom O = ~P U. dom O ) /\ ( O ` (/) ) = 0 ) /\ A. y e. ~P U. dom O A. z e. ~P y ( O ` z ) <_ ( O ` y ) ) ) )
17	2	pweqd 4163	. . . 4 |- ( x = O -> ~P dom x = ~P dom O )
18		fveq1 6190	. . . . . 6 |- ( x = O -> ( x ` U. y ) = ( O ` U. y ) )
19		reseq1 5390	. . . . . . 7 |- ( x = O -> ( x |` y ) = ( O |` y ) )
20	19	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( x = O -> (Σ^ ` ( x |` y ) ) = (Σ^ ` ( O |` y ) ) )
21	18, 20	breq12d 4666	. . . . 5 |- ( x = O -> ( ( x ` U. y ) <_ (Σ^ ` ( x |` y ) ) <-> ( O ` U. y ) <_ (Σ^ ` ( O |` y ) ) ) )
22	21	imbi2d 330	. . . 4 |- ( x = O -> ( ( y ~<_ om -> ( x ` U. y ) <_ (Σ^ ` ( x |` y ) ) ) <-> ( y ~<_ om -> ( O ` U. y ) <_ (Σ^ ` ( O |` y ) ) ) ) )
23	17, 22	raleqbidv 3152	. . 3 |- ( x = O -> ( A. y e. ~P dom x ( y ~<_ om -> ( x ` U. y ) <_ (Σ^ ` ( x |` y ) ) ) <-> A. y e. ~P dom O ( y ~<_ om -> ( O ` U. y ) <_ (Σ^ ` ( O |` y ) ) ) ) )
24	16, 23	anbi12d 747	. 2 |- ( x = O -> ( ( ( ( ( x : dom x --> ( 0 [,] +oo ) /\ dom x = ~P U. dom x ) /\ ( x ` (/) ) = 0 ) /\ A. y e. ~P U. dom x A. z e. ~P y ( x ` z ) <_ ( x ` y ) ) /\ A. y e. ~P dom x ( y ~<_ om -> ( x ` U. y ) <_ (Σ^ ` ( x |` y ) ) ) ) <-> ( ( ( ( O : dom O --> ( 0 [,] +oo ) /\ dom O = ~P U. dom O ) /\ ( O ` (/) ) = 0 ) /\ A. y e. ~P U. dom O A. z e. ~P y ( O ` z ) <_ ( O ` y ) ) /\ A. y e. ~P dom O ( y ~<_ om -> ( O ` U. y ) <_ (Σ^ ` ( O |` y ) ) ) ) ) )
25		df-ome 40704	. 2 |- OutMeas = { x | ( ( ( ( x : dom x --> ( 0 [,] +oo ) /\ dom x = ~P U. dom x ) /\ ( x ` (/) ) = 0 ) /\ A. y e. ~P U. dom x A. z e. ~P y ( x ` z ) <_ ( x ` y ) ) /\ A. y e. ~P dom x ( y ~<_ om -> ( x ` U. y ) <_ (Σ^ ` ( x |` y ) ) ) ) }
26	24, 25	elab2g 3353	1 |- ( O e. V -> ( O e. OutMeas <-> ( ( ( ( O : dom O --> ( 0 [,] +oo ) /\ dom O = ~P U. dom O ) /\ ( O ` (/) ) = 0 ) /\ A. y e. ~P U. dom O A. z e. ~P y ( O ` z ) <_ ( O ` y ) ) /\ A. y e. ~P dom O ( y ~<_ om -> ( O ` U. y ) <_ (Σ^ ` ( O |` y ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   omcom 7065   ~<_ cdom 7953   0cc0 9936   +oocpnf 10071   <_ cle 10075   [,]cicc 12178  Σ^{^}csumge0 40579  OutMeascome 40703

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ome 40704

This theorem is referenced by:  omef  40710  ome0  40711  omessle  40712  omedm  40713  omeunile  40719  0ome  40743  isomennd  40745