Theorem omessle 40712

Description: The outer measure of a set is larger or equal to the measure of a subset, Definition 113A (ii) of [Fremlin1] p. 19. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
omessle.o	|- ( ph -> O e. OutMeas )
omessle.x	|- X = U. dom O
omessle.b	|- ( ph -> B C_ X )
omessle.a	|- ( ph -> A C_ B )

Assertion

Ref	Expression
omessle	|- ( ph -> ( O ` A ) <_ ( O ` B ) )

Proof of Theorem omessle

Dummy variables z y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omessle.a	. . 3 |- ( ph -> A C_ B )
2		omessle.o	. . . . . . 7 |- ( ph -> O e. OutMeas )
3		omessle.x	. . . . . . 7 |- X = U. dom O
4	2, 3	unidmex 39217	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. _V )
5		omessle.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B C_ X )
6	4, 5	ssexd 4805	. . . . 5 |- ( ph -> B e. _V )
7	6, 1	ssexd 4805	. . . 4 |- ( ph -> A e. _V )
8		elpwg 4166	. . . 4 |- ( A e. _V -> ( A e. ~P B <-> A C_ B ) )
9	7, 8	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( A e. ~P B <-> A C_ B ) )
10	1, 9	mpbird 247	. 2 |- ( ph -> A e. ~P B )
11	5, 3	syl6sseq 3651	. . . 4 |- ( ph -> B C_ U. dom O )
12		elpwg 4166	. . . . 5 |- ( B e. _V -> ( B e. ~P U. dom O <-> B C_ U. dom O ) )
13	6, 12	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( B e. ~P U. dom O <-> B C_ U. dom O ) )
14	11, 13	mpbird 247	. . 3 |- ( ph -> B e. ~P U. dom O )
15		isome 40708	. . . . . 6 |- ( O e. OutMeas -> ( O e. OutMeas <-> ( ( ( ( O : dom O --> ( 0 [,] +oo ) /\ dom O = ~P U. dom O ) /\ ( O ` (/) ) = 0 ) /\ A. y e. ~P U. dom O A. z e. ~P y ( O ` z ) <_ ( O ` y ) ) /\ A. y e. ~P dom O ( y ~<_ om -> ( O ` U. y ) <_ (Σ^ ` ( O |` y ) ) ) ) ) )
16	2, 15	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( O e. OutMeas <-> ( ( ( ( O : dom O --> ( 0 [,] +oo ) /\ dom O = ~P U. dom O ) /\ ( O ` (/) ) = 0 ) /\ A. y e. ~P U. dom O A. z e. ~P y ( O ` z ) <_ ( O ` y ) ) /\ A. y e. ~P dom O ( y ~<_ om -> ( O ` U. y ) <_ (Σ^ ` ( O |` y ) ) ) ) ) )
17	2, 16	mpbid 222	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( O : dom O --> ( 0 [,] +oo ) /\ dom O = ~P U. dom O ) /\ ( O ` (/) ) = 0 ) /\ A. y e. ~P U. dom O A. z e. ~P y ( O ` z ) <_ ( O ` y ) ) /\ A. y e. ~P dom O ( y ~<_ om -> ( O ` U. y ) <_ (Σ^ ` ( O |` y ) ) ) ) )
18	17	simplrd 793	. . 3 |- ( ph -> A. y e. ~P U. dom O A. z e. ~P y ( O ` z ) <_ ( O ` y ) )
19		pweq 4161	. . . . . 6 |- ( y = B -> ~P y = ~P B )
20	19	raleqdv 3144	. . . . 5 |- ( y = B -> ( A. z e. ~P y ( O ` z ) <_ ( O ` y ) <-> A. z e. ~P B ( O ` z ) <_ ( O ` y ) ) )
21		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( y = B -> ( O ` y ) = ( O ` B ) )
22	21	breq2d 4665	. . . . . 6 |- ( y = B -> ( ( O ` z ) <_ ( O ` y ) <-> ( O ` z ) <_ ( O ` B ) ) )
23	22	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( y = B -> ( A. z e. ~P B ( O ` z ) <_ ( O ` y ) <-> A. z e. ~P B ( O ` z ) <_ ( O ` B ) ) )
24	20, 23	bitrd 268	. . . 4 |- ( y = B -> ( A. z e. ~P y ( O ` z ) <_ ( O ` y ) <-> A. z e. ~P B ( O ` z ) <_ ( O ` B ) ) )
25	24	rspcva 3307	. . 3 |- ( ( B e. ~P U. dom O /\ A. y e. ~P U. dom O A. z e. ~P y ( O ` z ) <_ ( O ` y ) ) -> A. z e. ~P B ( O ` z ) <_ ( O ` B ) )
26	14, 18, 25	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> A. z e. ~P B ( O ` z ) <_ ( O ` B ) )
27		fveq2 6191	. . . 4 |- ( z = A -> ( O ` z ) = ( O ` A ) )
28	27	breq1d 4663	. . 3 |- ( z = A -> ( ( O ` z ) <_ ( O ` B ) <-> ( O ` A ) <_ ( O ` B ) ) )
29	28	rspcva 3307	. 2 |- ( ( A e. ~P B /\ A. z e. ~P B ( O ` z ) <_ ( O ` B ) ) -> ( O ` A ) <_ ( O ` B ) )
30	10, 26, 29	syl2anc 693	1 |- ( ph -> ( O ` A ) <_ ( O ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   omcom 7065   ~<_ cdom 7953   0cc0 9936   +oocpnf 10071   <_ cle 10075   [,]cicc 12178  Σ^{^}csumge0 40579  OutMeascome 40703

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ome 40704

This theorem is referenced by:  omessre  40724  omeiunltfirp  40733  carageniuncllem2  40736  caratheodorylem2  40741  omess0  40748  caragencmpl  40749