Theorem omeunile 40719

Description: The outer measure of the union of a countable set is the less than or equal to the extended sum of the outer measures. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
omeunile.o	|- ( ph -> O e. OutMeas )
omeunile.x	|- X = U. dom O
omeunile.y	|- ( ph -> Y C_ ~P X )
omeunile.ct	|- ( ph -> Y ~<_ om )

Assertion

Ref	Expression
omeunile	|- ( ph -> ( O ` U. Y ) <_ (Σ^ ` ( O |` Y ) ) )

Proof of Theorem omeunile

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omeunile.ct	. 2 |- ( ph -> Y ~<_ om )
2		omeunile.y	. . . . 5 |- ( ph -> Y C_ ~P X )
3		omeunile.o	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> O e. OutMeas )
4		omeunile.x	. . . . . . . . 9 |- X = U. dom O
5	3, 4	unidmex 39217	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. _V )
6		pwexg 4850	. . . . . . . 8 |- ( X e. _V -> ~P X e. _V )
7	5, 6	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ~P X e. _V )
8		ssexg 4804	. . . . . . 7 |- ( ( Y C_ ~P X /\ ~P X e. _V ) -> Y e. _V )
9	2, 7, 8	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> Y e. _V )
10		elpwg 4166	. . . . . 6 |- ( Y e. _V -> ( Y e. ~P ~P X <-> Y C_ ~P X ) )
11	9, 10	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( Y e. ~P ~P X <-> Y C_ ~P X ) )
12	2, 11	mpbird 247	. . . 4 |- ( ph -> Y e. ~P ~P X )
13		omedm 40713	. . . . . . 7 |- ( O e. OutMeas -> dom O = ~P U. dom O )
14	3, 13	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> dom O = ~P U. dom O )
15	4	pweqi 4162	. . . . . . . 8 |- ~P X = ~P U. dom O
16	15	eqcomi 2631	. . . . . . 7 |- ~P U. dom O = ~P X
17	16	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ~P U. dom O = ~P X )
18	14, 17	eqtr2d 2657	. . . . 5 |- ( ph -> ~P X = dom O )
19	18	pweqd 4163	. . . 4 |- ( ph -> ~P ~P X = ~P dom O )
20	12, 19	eleqtrd 2703	. . 3 |- ( ph -> Y e. ~P dom O )
21		isome 40708	. . . . . 6 |- ( O e. OutMeas -> ( O e. OutMeas <-> ( ( ( ( O : dom O --> ( 0 [,] +oo ) /\ dom O = ~P U. dom O ) /\ ( O ` (/) ) = 0 ) /\ A. y e. ~P U. dom O A. x e. ~P y ( O ` x ) <_ ( O ` y ) ) /\ A. y e. ~P dom O ( y ~<_ om -> ( O ` U. y ) <_ (Σ^ ` ( O |` y ) ) ) ) ) )
22	3, 21	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( O e. OutMeas <-> ( ( ( ( O : dom O --> ( 0 [,] +oo ) /\ dom O = ~P U. dom O ) /\ ( O ` (/) ) = 0 ) /\ A. y e. ~P U. dom O A. x e. ~P y ( O ` x ) <_ ( O ` y ) ) /\ A. y e. ~P dom O ( y ~<_ om -> ( O ` U. y ) <_ (Σ^ ` ( O |` y ) ) ) ) ) )
23	3, 22	mpbid 222	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( O : dom O --> ( 0 [,] +oo ) /\ dom O = ~P U. dom O ) /\ ( O ` (/) ) = 0 ) /\ A. y e. ~P U. dom O A. x e. ~P y ( O ` x ) <_ ( O ` y ) ) /\ A. y e. ~P dom O ( y ~<_ om -> ( O ` U. y ) <_ (Σ^ ` ( O |` y ) ) ) ) )
24	23	simprd 479	. . 3 |- ( ph -> A. y e. ~P dom O ( y ~<_ om -> ( O ` U. y ) <_ (Σ^ ` ( O |` y ) ) ) )
25		breq1 4656	. . . . 5 |- ( y = Y -> ( y ~<_ om <-> Y ~<_ om ) )
26		unieq 4444	. . . . . . 7 |- ( y = Y -> U. y = U. Y )
27	26	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( y = Y -> ( O ` U. y ) = ( O ` U. Y ) )
28		reseq2 5391	. . . . . . 7 |- ( y = Y -> ( O |` y ) = ( O |` Y ) )
29	28	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( y = Y -> (Σ^ ` ( O |` y ) ) = (Σ^ ` ( O |` Y ) ) )
30	27, 29	breq12d 4666	. . . . 5 |- ( y = Y -> ( ( O ` U. y ) <_ (Σ^ ` ( O |` y ) ) <-> ( O ` U. Y ) <_ (Σ^ ` ( O |` Y ) ) ) )
31	25, 30	imbi12d 334	. . . 4 |- ( y = Y -> ( ( y ~<_ om -> ( O ` U. y ) <_ (Σ^ ` ( O |` y ) ) ) <-> ( Y ~<_ om -> ( O ` U. Y ) <_ (Σ^ ` ( O |` Y ) ) ) ) )
32	31	rspcva 3307	. . 3 |- ( ( Y e. ~P dom O /\ A. y e. ~P dom O ( y ~<_ om -> ( O ` U. y ) <_ (Σ^ ` ( O |` y ) ) ) ) -> ( Y ~<_ om -> ( O ` U. Y ) <_ (Σ^ ` ( O |` Y ) ) ) )
33	20, 24, 32	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> ( Y ~<_ om -> ( O ` U. Y ) <_ (Σ^ ` ( O |` Y ) ) ) )
34	1, 33	mpd 15	1 |- ( ph -> ( O ` U. Y ) <_ (Σ^ ` ( O |` Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   omcom 7065   ~<_ cdom 7953   0cc0 9936   +oocpnf 10071   <_ cle 10075   [,]cicc 12178  Σ^{^}csumge0 40579  OutMeascome 40703

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ome 40704

This theorem is referenced by:  omeunle  40730  omeiunle  40731