Theorem 0ome 40743

Description: The map that assigns 0 to every subset, is an outer measure. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
0ome.1	|- ( ph -> X e. V )
0ome.2	|- O = ( x e. ~P X |-> 0 )

Assertion

Ref	Expression
0ome	|- ( ph -> O e. OutMeas )

Distinct variable group:   x, X

Allowed substitution hints:   ph( x)   O( x)   V( x)

Proof of Theorem 0ome

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ~P X |-> 0 ) = ( y e. ~P X |-> 0 )
2		0e0iccpnf 12283	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. ( 0 [,] +oo )
3	2	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ~P X -> 0 e. ( 0 [,] +oo ) )
4	1, 3	fmpti 6383	. . . . . . . 8 |- ( y e. ~P X |-> 0 ) : ~P X --> ( 0 [,] +oo )
5		0ome.2	. . . . . . . . . . 11 |- O = ( x e. ~P X |-> 0 )
6		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> 0 = 0 )
7	6	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ~P X |-> 0 ) = ( y e. ~P X |-> 0 )
8	5, 7	eqtri 2644	. . . . . . . . . 10 |- O = ( y e. ~P X |-> 0 )
9	8	feq1i 6036	. . . . . . . . 9 |- ( O : dom O --> ( 0 [,] +oo ) <-> ( y e. ~P X |-> 0 ) : dom O --> ( 0 [,] +oo ) )
10	8	dmeqi 5325	. . . . . . . . . . 11 |- dom O = dom ( y e. ~P X |-> 0 )
11		0re 10040	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. RR
12	11	rgenw 2924	. . . . . . . . . . . 12 |- A. y e. ~P X 0 e. RR
13		dmmptg 5632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. y e. ~P X 0 e. RR -> dom ( y e. ~P X |-> 0 ) = ~P X )
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- dom ( y e. ~P X |-> 0 ) = ~P X
15	10, 14	eqtri 2644	. . . . . . . . . 10 |- dom O = ~P X
16	15	feq2i 6037	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. ~P X |-> 0 ) : dom O --> ( 0 [,] +oo ) <-> ( y e. ~P X |-> 0 ) : ~P X --> ( 0 [,] +oo ) )
17	9, 16	bitri 264	. . . . . . . 8 |- ( O : dom O --> ( 0 [,] +oo ) <-> ( y e. ~P X |-> 0 ) : ~P X --> ( 0 [,] +oo ) )
18	4, 17	mpbir 221	. . . . . . 7 |- O : dom O --> ( 0 [,] +oo )
19		unipw 4918	. . . . . . . . . 10 |- U. ~P X = X
20	19	pweqi 4162	. . . . . . . . 9 |- ~P U. ~P X = ~P X
21	20	eqcomi 2631	. . . . . . . 8 |- ~P X = ~P U. ~P X
22	15	eqcomi 2631	. . . . . . . . . 10 |- ~P X = dom O
23	22	unieqi 4445	. . . . . . . . 9 |- U. ~P X = U. dom O
24	23	pweqi 4162	. . . . . . . 8 |- ~P U. ~P X = ~P U. dom O
25	15, 21, 24	3eqtri 2648	. . . . . . 7 |- dom O = ~P U. dom O
26	18, 25	pm3.2i 471	. . . . . 6 |- ( O : dom O --> ( 0 [,] +oo ) /\ dom O = ~P U. dom O )
27		0elpw 4834	. . . . . . 7 |- (/) e. ~P X
28		eqidd 2623	. . . . . . . 8 |- ( y = (/) -> 0 = 0 )
29	11	elexi 3213	. . . . . . . 8 |- 0 e. _V
30	28, 8, 29	fvmpt 6282	. . . . . . 7 |- ( (/) e. ~P X -> ( O ` (/) ) = 0 )
31	27, 30	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( O ` (/) ) = 0
32	26, 31	pm3.2i 471	. . . . 5 |- ( ( O : dom O --> ( 0 [,] +oo ) /\ dom O = ~P U. dom O ) /\ ( O ` (/) ) = 0 )
33	11	leidi 10562	. . . . . . . . 9 |- 0 <_ 0
34	33	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. ~P U. dom O /\ z e. ~P y ) -> 0 <_ 0 )
35		elpwi 4168	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. ~P y -> z C_ y )
36	35	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. ~P U. dom O /\ z e. ~P y ) -> z C_ y )
37		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ~P U. dom O -> y e. ~P U. dom O )
38	21, 24	eqtr2i 2645	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ~P U. dom O = ~P X
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ~P U. dom O -> ~P U. dom O = ~P X )
40	37, 39	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ~P U. dom O -> y e. ~P X )
41		elpwi 4168	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ~P X -> y C_ X )
42	40, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ~P U. dom O -> y C_ X )
43	42	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. ~P U. dom O /\ z e. ~P y ) -> y C_ X )
44	36, 43	sstrd 3613	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. ~P U. dom O /\ z e. ~P y ) -> z C_ X )
45		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. ~P U. dom O /\ z e. ~P y ) -> z e. ~P y )
46		elpwg 4166	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ~P y -> ( z e. ~P X <-> z C_ X ) )
47	45, 46	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. ~P U. dom O /\ z e. ~P y ) -> ( z e. ~P X <-> z C_ X ) )
48	44, 47	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. ~P U. dom O /\ z e. ~P y ) -> z e. ~P X )
49	11	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. ~P U. dom O /\ z e. ~P y ) -> 0 e. RR )
50		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = z -> 0 = 0 )
51	50	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ~P X |-> 0 ) = ( z e. ~P X |-> 0 )
52	8, 51	eqtri 2644	. . . . . . . . . . 11 |- O = ( z e. ~P X |-> 0 )
53	52	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. ~P X /\ 0 e. RR ) -> ( O ` z ) = 0 )
54	48, 49, 53	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. ~P U. dom O /\ z e. ~P y ) -> ( O ` z ) = 0 )
55	8	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. ~P X /\ 0 e. RR ) -> ( O ` y ) = 0 )
56	40, 11, 55	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ~P U. dom O -> ( O ` y ) = 0 )
57	56	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. ~P U. dom O /\ z e. ~P y ) -> ( O ` y ) = 0 )
58	54, 57	breq12d 4666	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. ~P U. dom O /\ z e. ~P y ) -> ( ( O ` z ) <_ ( O ` y ) <-> 0 <_ 0 ) )
59	34, 58	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ( y e. ~P U. dom O /\ z e. ~P y ) -> ( O ` z ) <_ ( O ` y ) )
60	59	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( y e. ~P U. dom O -> A. z e. ~P y ( O ` z ) <_ ( O ` y ) )
61	60	rgen 2922	. . . . 5 |- A. y e. ~P U. dom O A. z e. ~P y ( O ` z ) <_ ( O ` y )
62	32, 61	pm3.2i 471	. . . 4 |- ( ( ( O : dom O --> ( 0 [,] +oo ) /\ dom O = ~P U. dom O ) /\ ( O ` (/) ) = 0 ) /\ A. y e. ~P U. dom O A. z e. ~P y ( O ` z ) <_ ( O ` y ) )
63	33	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( y e. ~P dom O -> 0 <_ 0 )
64	52	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ~P dom O -> O = ( z e. ~P X |-> 0 ) )
65		eqidd 2623	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. ~P dom O /\ z = U. y ) -> 0 = 0 )
66		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ~P dom O -> y e. ~P dom O )
67	15	pweqi 4162	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ~P dom O = ~P ~P X
68	67	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ~P dom O -> ~P dom O = ~P ~P X )
69	66, 68	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ~P dom O -> y e. ~P ~P X )
70		elpwi 4168	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ~P ~P X -> y C_ ~P X )
71	69, 70	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ~P dom O -> y C_ ~P X )
72		sspwuni 4611	. . . . . . . . . . 11 |- ( y C_ ~P X <-> U. y C_ X )
73	71, 72	sylib 208	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ~P dom O -> U. y C_ X )
74		vuniex 6954	. . . . . . . . . . . 12 |- U. y e. _V
75	74	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ~P dom O -> U. y e. _V )
76		elpwg 4166	. . . . . . . . . . 11 |- ( U. y e. _V -> ( U. y e. ~P X <-> U. y C_ X ) )
77	75, 76	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ~P dom O -> ( U. y e. ~P X <-> U. y C_ X ) )
78	73, 77	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ~P dom O -> U. y e. ~P X )
79	11	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ~P dom O -> 0 e. RR )
80	64, 65, 78, 79	fvmptd 6288	. . . . . . . 8 |- ( y e. ~P dom O -> ( O ` U. y ) = 0 )
81	64	reseq1d 5395	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ~P dom O -> ( O |` y ) = ( ( z e. ~P X |-> 0 ) |` y ) )
82		resmpt 5449	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y C_ ~P X -> ( ( z e. ~P X |-> 0 ) |` y ) = ( z e. y |-> 0 ) )
83	71, 82	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ~P dom O -> ( ( z e. ~P X |-> 0 ) |` y ) = ( z e. y |-> 0 ) )
84	81, 83	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ~P dom O -> ( O |` y ) = ( z e. y |-> 0 ) )
85	84	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ~P dom O -> (Σ^ ` ( O |` y ) ) = (Σ^ ` ( z e. y |-> 0 ) ) )
86		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ z y e. ~P dom O
87	86, 66	sge0z 40592	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ~P dom O -> (Σ^ ` ( z e. y |-> 0 ) ) = 0 )
88	85, 87	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( y e. ~P dom O -> (Σ^ ` ( O |` y ) ) = 0 )
89	80, 88	breq12d 4666	. . . . . . 7 |- ( y e. ~P dom O -> ( ( O ` U. y ) <_ (Σ^ ` ( O |` y ) ) <-> 0 <_ 0 ) )
90	63, 89	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( y e. ~P dom O -> ( O ` U. y ) <_ (Σ^ ` ( O |` y ) ) )
91	90	a1d 25	. . . . 5 |- ( y e. ~P dom O -> ( y ~<_ om -> ( O ` U. y ) <_ (Σ^ ` ( O |` y ) ) ) )
92	91	rgen 2922	. . . 4 |- A. y e. ~P dom O ( y ~<_ om -> ( O ` U. y ) <_ (Σ^ ` ( O |` y ) ) )
93	62, 92	pm3.2i 471	. . 3 |- ( ( ( ( O : dom O --> ( 0 [,] +oo ) /\ dom O = ~P U. dom O ) /\ ( O ` (/) ) = 0 ) /\ A. y e. ~P U. dom O A. z e. ~P y ( O ` z ) <_ ( O ` y ) ) /\ A. y e. ~P dom O ( y ~<_ om -> ( O ` U. y ) <_ (Σ^ ` ( O |` y ) ) ) )
94	93	a1i 11	. 2 |- ( ph -> ( ( ( ( O : dom O --> ( 0 [,] +oo ) /\ dom O = ~P U. dom O ) /\ ( O ` (/) ) = 0 ) /\ A. y e. ~P U. dom O A. z e. ~P y ( O ` z ) <_ ( O ` y ) ) /\ A. y e. ~P dom O ( y ~<_ om -> ( O ` U. y ) <_ (Σ^ ` ( O |` y ) ) ) ) )
95	8	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> O = ( y e. ~P X |-> 0 ) )
96		0ome.1	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. V )
97		pwexg 4850	. . . . . 6 |- ( X e. V -> ~P X e. _V )
98	96, 97	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ~P X e. _V )
99		mptexg 6484	. . . . 5 |- ( ~P X e. _V -> ( y e. ~P X |-> 0 ) e. _V )
100	98, 99	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( y e. ~P X |-> 0 ) e. _V )
101	95, 100	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ph -> O e. _V )
102		isome 40708	. . 3 |- ( O e. _V -> ( O e. OutMeas <-> ( ( ( ( O : dom O --> ( 0 [,] +oo ) /\ dom O = ~P U. dom O ) /\ ( O ` (/) ) = 0 ) /\ A. y e. ~P U. dom O A. z e. ~P y ( O ` z ) <_ ( O ` y ) ) /\ A. y e. ~P dom O ( y ~<_ om -> ( O ` U. y ) <_ (Σ^ ` ( O |` y ) ) ) ) ) )
103	101, 102	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( O e. OutMeas <-> ( ( ( ( O : dom O --> ( 0 [,] +oo ) /\ dom O = ~P U. dom O ) /\ ( O ` (/) ) = 0 ) /\ A. y e. ~P U. dom O A. z e. ~P y ( O ` z ) <_ ( O ` y ) ) /\ A. y e. ~P dom O ( y ~<_ om -> ( O ` U. y ) <_ (Σ^ ` ( O |` y ) ) ) ) ) )
104	94, 103	mpbird 247	1 |- ( ph -> O e. OutMeas )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   omcom 7065   ~<_ cdom 7953   RRcr 9935   0cc0 9936   +oocpnf 10071   <_ cle 10075   [,]cicc 12178  Σ^{^}csumge0 40579  OutMeascome 40703

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-sumge0 40580  df-ome 40704

This theorem is referenced by: (None)