Theorem isomennd 40745

Description: Sufficient condition to prove that O is an outer measure. Definition 113A of [Fremlin1] p. 19 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
isomennd.x	|- ( ph -> X e. V )
isomennd.o	|- ( ph -> O : ~P X --> ( 0 [,] +oo ) )
isomennd.o0	|- ( ph -> ( O ` (/) ) = 0 )
isomennd.le	|- ( ( ph /\ x C_ X /\ y C_ x ) -> ( O ` y ) <_ ( O ` x ) )
isomennd.sa	|- ( ( ph /\ a : NN --> ~P X ) -> ( O ` U_ n e. NN ( a ` n ) ) <_ (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( O ` ( a ` n ) ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
isomennd	|- ( ph -> O e. OutMeas )

Distinct variable groups:   O, a, n, x   y, O, x   X, a   ph, a, n, x   ph, y

Allowed substitution hints:   V( x, y, n, a)   X( x, y, n)

Proof of Theorem isomennd

Dummy variables f m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isomennd.o	. . . . 5 |- ( ph -> O : ~P X --> ( 0 [,] +oo ) )
2		id 22	. . . . . 6 |- ( O : ~P X --> ( 0 [,] +oo ) -> O : ~P X --> ( 0 [,] +oo ) )
3		fdm 6051	. . . . . . 7 |- ( O : ~P X --> ( 0 [,] +oo ) -> dom O = ~P X )
4	3	feq2d 6031	. . . . . 6 |- ( O : ~P X --> ( 0 [,] +oo ) -> ( O : dom O --> ( 0 [,] +oo ) <-> O : ~P X --> ( 0 [,] +oo ) ) )
5	2, 4	mpbird 247	. . . . 5 |- ( O : ~P X --> ( 0 [,] +oo ) -> O : dom O --> ( 0 [,] +oo ) )
6	1, 5	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> O : dom O --> ( 0 [,] +oo ) )
7		unipw 4918	. . . . . . 7 |- U. ~P X = X
8	7	pweqi 4162	. . . . . 6 |- ~P U. ~P X = ~P X
9	8	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ~P U. ~P X = ~P X )
10	1, 3	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> dom O = ~P X )
11	10	unieqd 4446	. . . . . 6 |- ( ph -> U. dom O = U. ~P X )
12	11	pweqd 4163	. . . . 5 |- ( ph -> ~P U. dom O = ~P U. ~P X )
13	9, 12, 10	3eqtr4rd 2667	. . . 4 |- ( ph -> dom O = ~P U. dom O )
14		isomennd.o0	. . . 4 |- ( ph -> ( O ` (/) ) = 0 )
15	6, 13, 14	jca31 557	. . 3 |- ( ph -> ( ( O : dom O --> ( 0 [,] +oo ) /\ dom O = ~P U. dom O ) /\ ( O ` (/) ) = 0 ) )
16		simpl 473	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ~P U. dom O /\ y e. ~P x ) ) -> ph )
17		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ~P U. dom O ) -> x e. ~P U. dom O )
18	12, 9	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ~P U. dom O = ~P X )
19	18	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ~P U. dom O ) -> ~P U. dom O = ~P X )
20	17, 19	eleqtrd 2703	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ~P U. dom O ) -> x e. ~P X )
21		elpwi 4168	. . . . . . 7 |- ( x e. ~P X -> x C_ X )
22	20, 21	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ~P U. dom O ) -> x C_ X )
23	22	adantrr 753	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ~P U. dom O /\ y e. ~P x ) ) -> x C_ X )
24		elpwi 4168	. . . . . . 7 |- ( y e. ~P x -> y C_ x )
25	24	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( x e. ~P U. dom O /\ y e. ~P x ) -> y C_ x )
26	25	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ~P U. dom O /\ y e. ~P x ) ) -> y C_ x )
27		isomennd.le	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x C_ X /\ y C_ x ) -> ( O ` y ) <_ ( O ` x ) )
28	16, 23, 26, 27	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ~P U. dom O /\ y e. ~P x ) ) -> ( O ` y ) <_ ( O ` x ) )
29	28	ralrimivva 2971	. . 3 |- ( ph -> A. x e. ~P U. dom O A. y e. ~P x ( O ` y ) <_ ( O ` x ) )
30		0le0 11110	. . . . . . . . 9 |- 0 <_ 0
31	30	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x = (/) ) -> 0 <_ 0 )
32		unieq 4444	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = (/) -> U. x = U. (/) )
33		uni0 4465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U. (/) = (/)
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = (/) -> U. (/) = (/) )
35	32, 34	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = (/) -> U. x = (/) )
36	35	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = (/) -> ( O ` U. x ) = ( O ` (/) ) )
37	36	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x = (/) ) -> ( O ` U. x ) = ( O ` (/) ) )
38	14	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x = (/) ) -> ( O ` (/) ) = 0 )
39	37, 38	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x = (/) ) -> ( O ` U. x ) = 0 )
40		reseq2 5391	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = (/) -> ( O |` x ) = ( O |` (/) ) )
41		res0 5400	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( O |` (/) ) = (/)
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = (/) -> ( O |` (/) ) = (/) )
43	40, 42	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = (/) -> ( O |` x ) = (/) )
44	43	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = (/) -> (Σ^ ` ( O |` x ) ) = (Σ^ ` (/) ) )
45		sge00 40593	. . . . . . . . . . . 12 |- (Σ^ ` (/) ) = 0
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = (/) -> (Σ^ ` (/) ) = 0 )
47	44, 46	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( x = (/) -> (Σ^ ` ( O |` x ) ) = 0 )
48	47	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x = (/) ) -> (Σ^ ` ( O |` x ) ) = 0 )
49	39, 48	breq12d 4666	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x = (/) ) -> ( ( O ` U. x ) <_ (Σ^ ` ( O |` x ) ) <-> 0 <_ 0 ) )
50	31, 49	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x = (/) ) -> ( O ` U. x ) <_ (Σ^ ` ( O |` x ) ) )
51	50	ad4ant14 1293	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom O ) /\ x ~<_ om ) /\ x = (/) ) -> ( O ` U. x ) <_ (Σ^ ` ( O |` x ) ) )
52		simpl 473	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom O ) /\ x ~<_ om ) /\ -. x = (/) ) -> ( ( ph /\ x e. ~P dom O ) /\ x ~<_ om ) )
53		neqne 2802	. . . . . . . 8 |- ( -. x = (/) -> x =/= (/) )
54	53	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom O ) /\ x ~<_ om ) /\ -. x = (/) ) -> x =/= (/) )
55		ssnnf1octb 39382	. . . . . . . . 9 |- ( ( x ~<_ om /\ x =/= (/) ) -> E. f ( dom f C_ NN /\ f : dom f -1-1-onto-> x ) )
56	55	adantll 750	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom O ) /\ x ~<_ om ) /\ x =/= (/) ) -> E. f ( dom f C_ NN /\ f : dom f -1-1-onto-> x ) )
57	1	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom O ) /\ ( dom f C_ NN /\ f : dom f -1-1-onto-> x ) ) -> O : ~P X --> ( 0 [,] +oo ) )
58	14	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom O ) /\ ( dom f C_ NN /\ f : dom f -1-1-onto-> x ) ) -> ( O ` (/) ) = 0 )
59		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ~P dom O ) -> x e. ~P dom O )
60	10	pweqd 4163	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ~P dom O = ~P ~P X )
61	60	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ~P dom O ) -> ~P dom O = ~P ~P X )
62	59, 61	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ~P dom O ) -> x e. ~P ~P X )
63		elpwi 4168	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ~P ~P X -> x C_ ~P X )
64	62, 63	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ~P dom O ) -> x C_ ~P X )
65	64	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom O ) /\ ( dom f C_ NN /\ f : dom f -1-1-onto-> x ) ) -> x C_ ~P X )
66		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ~P dom O ) -> ph )
67		isomennd.sa	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ a : NN --> ~P X ) -> ( O ` U_ n e. NN ( a ` n ) ) <_ (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( O ` ( a ` n ) ) ) ) )
68	66, 67	sylan 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom O ) /\ a : NN --> ~P X ) -> ( O ` U_ n e. NN ( a ` n ) ) <_ (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( O ` ( a ` n ) ) ) ) )
69	68	adantlr 751	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom O ) /\ ( dom f C_ NN /\ f : dom f -1-1-onto-> x ) ) /\ a : NN --> ~P X ) -> ( O ` U_ n e. NN ( a ` n ) ) <_ (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( O ` ( a ` n ) ) ) ) )
70		simprl 794	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom O ) /\ ( dom f C_ NN /\ f : dom f -1-1-onto-> x ) ) -> dom f C_ NN )
71		simprr 796	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom O ) /\ ( dom f C_ NN /\ f : dom f -1-1-onto-> x ) ) -> f : dom f -1-1-onto-> x )
72		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = n -> ( m e. dom f <-> n e. dom f ) )
73		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = n -> ( f ` m ) = ( f ` n ) )
74	72, 73	ifbieq1d 4109	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = n -> if ( m e. dom f , ( f ` m ) , (/) ) = if ( n e. dom f , ( f ` n ) , (/) ) )
75	74	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. NN |-> if ( m e. dom f , ( f ` m ) , (/) ) ) = ( n e. NN |-> if ( n e. dom f , ( f ` n ) , (/) ) )
76	57, 58, 65, 69, 70, 71, 75	isomenndlem 40744	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom O ) /\ ( dom f C_ NN /\ f : dom f -1-1-onto-> x ) ) -> ( O ` U. x ) <_ (Σ^ ` ( O |` x ) ) )
77	76	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ~P dom O ) -> ( ( dom f C_ NN /\ f : dom f -1-1-onto-> x ) -> ( O ` U. x ) <_ (Σ^ ` ( O |` x ) ) ) )
78	77	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom O ) /\ x ~<_ om ) /\ x =/= (/) ) -> ( ( dom f C_ NN /\ f : dom f -1-1-onto-> x ) -> ( O ` U. x ) <_ (Σ^ ` ( O |` x ) ) ) )
79	78	exlimdv 1861	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom O ) /\ x ~<_ om ) /\ x =/= (/) ) -> ( E. f ( dom f C_ NN /\ f : dom f -1-1-onto-> x ) -> ( O ` U. x ) <_ (Σ^ ` ( O |` x ) ) ) )
80	56, 79	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom O ) /\ x ~<_ om ) /\ x =/= (/) ) -> ( O ` U. x ) <_ (Σ^ ` ( O |` x ) ) )
81	52, 54, 80	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom O ) /\ x ~<_ om ) /\ -. x = (/) ) -> ( O ` U. x ) <_ (Σ^ ` ( O |` x ) ) )
82	51, 81	pm2.61dan 832	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom O ) /\ x ~<_ om ) -> ( O ` U. x ) <_ (Σ^ ` ( O |` x ) ) )
83	82	ex 450	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ~P dom O ) -> ( x ~<_ om -> ( O ` U. x ) <_ (Σ^ ` ( O |` x ) ) ) )
84	83	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ph -> A. x e. ~P dom O ( x ~<_ om -> ( O ` U. x ) <_ (Σ^ ` ( O |` x ) ) ) )
85	15, 29, 84	jca31 557	. 2 |- ( ph -> ( ( ( ( O : dom O --> ( 0 [,] +oo ) /\ dom O = ~P U. dom O ) /\ ( O ` (/) ) = 0 ) /\ A. x e. ~P U. dom O A. y e. ~P x ( O ` y ) <_ ( O ` x ) ) /\ A. x e. ~P dom O ( x ~<_ om -> ( O ` U. x ) <_ (Σ^ ` ( O |` x ) ) ) ) )
86		isomennd.x	. . . . 5 |- ( ph -> X e. V )
87		pwexg 4850	. . . . 5 |- ( X e. V -> ~P X e. _V )
88	86, 87	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ~P X e. _V )
89		fex 6490	. . . 4 |- ( ( O : ~P X --> ( 0 [,] +oo ) /\ ~P X e. _V ) -> O e. _V )
90	1, 88, 89	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> O e. _V )
91		isome 40708	. . 3 |- ( O e. _V -> ( O e. OutMeas <-> ( ( ( ( O : dom O --> ( 0 [,] +oo ) /\ dom O = ~P U. dom O ) /\ ( O ` (/) ) = 0 ) /\ A. x e. ~P U. dom O A. y e. ~P x ( O ` y ) <_ ( O ` x ) ) /\ A. x e. ~P dom O ( x ~<_ om -> ( O ` U. x ) <_ (Σ^ ` ( O |` x ) ) ) ) ) )
92	90, 91	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( O e. OutMeas <-> ( ( ( ( O : dom O --> ( 0 [,] +oo ) /\ dom O = ~P U. dom O ) /\ ( O ` (/) ) = 0 ) /\ A. x e. ~P U. dom O A. y e. ~P x ( O ` y ) <_ ( O ` x ) ) /\ A. x e. ~P dom O ( x ~<_ om -> ( O ` U. x ) <_ (Σ^ ` ( O |` x ) ) ) ) ) )
93	85, 92	mpbird 247	1 |- ( ph -> O e. OutMeas )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   |` cres 5116   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   omcom 7065   ~<_ cdom 7953   0cc0 9936   +oocpnf 10071   <_ cle 10075   NNcn 11020   [,]cicc 12178  Σ^{^}csumge0 40579  OutMeascome 40703

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-sumge0 40580  df-ome 40704

This theorem is referenced by:  ovnome  40787