Theorem isomnd 29701

Description: A (left) ordered monoid is a monoid with a total ordering compatible with its operation. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
isomnd.0	|- B = ( Base ` M )
isomnd.1	|- .+ = ( +g ` M )
isomnd.2	|- .<_ = ( le ` M )

Assertion

Ref	Expression
isomnd	|- ( M e. oMnd <-> ( M e. Mnd /\ M e. Toset /\ A. a e. B A. b e. B A. c e. B ( a .<_ b -> ( a .+ c ) .<_ ( b .+ c ) ) ) )

Distinct variable groups:   a, b, c, B   M, a, b, c

Allowed substitution hints:   .+ ( a, b, c)   .<_ ( a, b, c)

Proof of Theorem isomnd

Dummy variables l m p v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6203	. . . . 5 |- ( m = M -> ( Base ` m ) e. _V )
2		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( m = M /\ v = ( Base ` m ) ) -> v = ( Base ` m ) )
3		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = M -> ( Base ` m ) = ( Base ` M ) )
4	3	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( m = M /\ v = ( Base ` m ) ) -> ( Base ` m ) = ( Base ` M ) )
5	2, 4	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m = M /\ v = ( Base ` m ) ) -> v = ( Base ` M ) )
6		isomnd.0	. . . . . . . . . 10 |- B = ( Base ` M )
7	5, 6	syl6eqr 2674	. . . . . . . . 9 |- ( ( m = M /\ v = ( Base ` m ) ) -> v = B )
8		raleq 3138	. . . . . . . . . . 11 |- ( v = B -> ( A. c e. v ( a l b -> ( a p c ) l ( b p c ) ) <-> A. c e. B ( a l b -> ( a p c ) l ( b p c ) ) ) )
9	8	raleqbi1dv 3146	. . . . . . . . . 10 |- ( v = B -> ( A. b e. v A. c e. v ( a l b -> ( a p c ) l ( b p c ) ) <-> A. b e. B A. c e. B ( a l b -> ( a p c ) l ( b p c ) ) ) )
10	9	raleqbi1dv 3146	. . . . . . . . 9 |- ( v = B -> ( A. a e. v A. b e. v A. c e. v ( a l b -> ( a p c ) l ( b p c ) ) <-> A. a e. B A. b e. B A. c e. B ( a l b -> ( a p c ) l ( b p c ) ) ) )
11	7, 10	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( m = M /\ v = ( Base ` m ) ) -> ( A. a e. v A. b e. v A. c e. v ( a l b -> ( a p c ) l ( b p c ) ) <-> A. a e. B A. b e. B A. c e. B ( a l b -> ( a p c ) l ( b p c ) ) ) )
12	11	anbi2d 740	. . . . . . 7 |- ( ( m = M /\ v = ( Base ` m ) ) -> ( ( m e. Toset /\ A. a e. v A. b e. v A. c e. v ( a l b -> ( a p c ) l ( b p c ) ) ) <-> ( m e. Toset /\ A. a e. B A. b e. B A. c e. B ( a l b -> ( a p c ) l ( b p c ) ) ) ) )
13	12	sbcbidv 3490	. . . . . 6 |- ( ( m = M /\ v = ( Base ` m ) ) -> ( [. ( le ` m ) / l ]. ( m e. Toset /\ A. a e. v A. b e. v A. c e. v ( a l b -> ( a p c ) l ( b p c ) ) ) <-> [. ( le ` m ) / l ]. ( m e. Toset /\ A. a e. B A. b e. B A. c e. B ( a l b -> ( a p c ) l ( b p c ) ) ) ) )
14	13	sbcbidv 3490	. . . . 5 |- ( ( m = M /\ v = ( Base ` m ) ) -> ( [. ( +g ` m ) / p ]. [. ( le ` m ) / l ]. ( m e. Toset /\ A. a e. v A. b e. v A. c e. v ( a l b -> ( a p c ) l ( b p c ) ) ) <-> [. ( +g ` m ) / p ]. [. ( le ` m ) / l ]. ( m e. Toset /\ A. a e. B A. b e. B A. c e. B ( a l b -> ( a p c ) l ( b p c ) ) ) ) )
15	1, 14	sbcied 3472	. . . 4 |- ( m = M -> ( [. ( Base ` m ) / v ]. [. ( +g ` m ) / p ]. [. ( le ` m ) / l ]. ( m e. Toset /\ A. a e. v A. b e. v A. c e. v ( a l b -> ( a p c ) l ( b p c ) ) ) <-> [. ( +g ` m ) / p ]. [. ( le ` m ) / l ]. ( m e. Toset /\ A. a e. B A. b e. B A. c e. B ( a l b -> ( a p c ) l ( b p c ) ) ) ) )
16		fvexd 6203	. . . . 5 |- ( m = M -> ( +g ` m ) e. _V )
17		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( m = M /\ p = ( +g ` m ) ) -> p = ( +g ` m ) )
18		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m = M -> ( +g ` m ) = ( +g ` M ) )
19	18	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( m = M /\ p = ( +g ` m ) ) -> ( +g ` m ) = ( +g ` M ) )
20	17, 19	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( m = M /\ p = ( +g ` m ) ) -> p = ( +g ` M ) )
21		isomnd.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- .+ = ( +g ` M )
22	20, 21	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m = M /\ p = ( +g ` m ) ) -> p = .+ )
23	22	oveqd 6667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( m = M /\ p = ( +g ` m ) ) -> ( a p c ) = ( a .+ c ) )
24	22	oveqd 6667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( m = M /\ p = ( +g ` m ) ) -> ( b p c ) = ( b .+ c ) )
25	23, 24	breq12d 4666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m = M /\ p = ( +g ` m ) ) -> ( ( a p c ) l ( b p c ) <-> ( a .+ c ) l ( b .+ c ) ) )
26	25	imbi2d 330	. . . . . . . . 9 |- ( ( m = M /\ p = ( +g ` m ) ) -> ( ( a l b -> ( a p c ) l ( b p c ) ) <-> ( a l b -> ( a .+ c ) l ( b .+ c ) ) ) )
27	26	ralbidv 2986	. . . . . . . 8 |- ( ( m = M /\ p = ( +g ` m ) ) -> ( A. c e. B ( a l b -> ( a p c ) l ( b p c ) ) <-> A. c e. B ( a l b -> ( a .+ c ) l ( b .+ c ) ) ) )
28	27	2ralbidv 2989	. . . . . . 7 |- ( ( m = M /\ p = ( +g ` m ) ) -> ( A. a e. B A. b e. B A. c e. B ( a l b -> ( a p c ) l ( b p c ) ) <-> A. a e. B A. b e. B A. c e. B ( a l b -> ( a .+ c ) l ( b .+ c ) ) ) )
29	28	anbi2d 740	. . . . . 6 |- ( ( m = M /\ p = ( +g ` m ) ) -> ( ( m e. Toset /\ A. a e. B A. b e. B A. c e. B ( a l b -> ( a p c ) l ( b p c ) ) ) <-> ( m e. Toset /\ A. a e. B A. b e. B A. c e. B ( a l b -> ( a .+ c ) l ( b .+ c ) ) ) ) )
30	29	sbcbidv 3490	. . . . 5 |- ( ( m = M /\ p = ( +g ` m ) ) -> ( [. ( le ` m ) / l ]. ( m e. Toset /\ A. a e. B A. b e. B A. c e. B ( a l b -> ( a p c ) l ( b p c ) ) ) <-> [. ( le ` m ) / l ]. ( m e. Toset /\ A. a e. B A. b e. B A. c e. B ( a l b -> ( a .+ c ) l ( b .+ c ) ) ) ) )
31	16, 30	sbcied 3472	. . . 4 |- ( m = M -> ( [. ( +g ` m ) / p ]. [. ( le ` m ) / l ]. ( m e. Toset /\ A. a e. B A. b e. B A. c e. B ( a l b -> ( a p c ) l ( b p c ) ) ) <-> [. ( le ` m ) / l ]. ( m e. Toset /\ A. a e. B A. b e. B A. c e. B ( a l b -> ( a .+ c ) l ( b .+ c ) ) ) ) )
32		fvexd 6203	. . . . . 6 |- ( m = M -> ( le ` m ) e. _V )
33		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( m = M /\ l = ( le ` m ) ) -> l = ( le ` m ) )
34		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( m = M /\ l = ( le ` m ) ) -> m = M )
35	34	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( m = M /\ l = ( le ` m ) ) -> ( le ` m ) = ( le ` M ) )
36	33, 35	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m = M /\ l = ( le ` m ) ) -> l = ( le ` M ) )
37		isomnd.2	. . . . . . . . . . . 12 |- .<_ = ( le ` M )
38	36, 37	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( m = M /\ l = ( le ` m ) ) -> l = .<_ )
39	38	breqd 4664	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m = M /\ l = ( le ` m ) ) -> ( a l b <-> a .<_ b ) )
40	38	breqd 4664	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m = M /\ l = ( le ` m ) ) -> ( ( a .+ c ) l ( b .+ c ) <-> ( a .+ c ) .<_ ( b .+ c ) ) )
41	39, 40	imbi12d 334	. . . . . . . . 9 |- ( ( m = M /\ l = ( le ` m ) ) -> ( ( a l b -> ( a .+ c ) l ( b .+ c ) ) <-> ( a .<_ b -> ( a .+ c ) .<_ ( b .+ c ) ) ) )
42	41	ralbidv 2986	. . . . . . . 8 |- ( ( m = M /\ l = ( le ` m ) ) -> ( A. c e. B ( a l b -> ( a .+ c ) l ( b .+ c ) ) <-> A. c e. B ( a .<_ b -> ( a .+ c ) .<_ ( b .+ c ) ) ) )
43	42	2ralbidv 2989	. . . . . . 7 |- ( ( m = M /\ l = ( le ` m ) ) -> ( A. a e. B A. b e. B A. c e. B ( a l b -> ( a .+ c ) l ( b .+ c ) ) <-> A. a e. B A. b e. B A. c e. B ( a .<_ b -> ( a .+ c ) .<_ ( b .+ c ) ) ) )
44	43	anbi2d 740	. . . . . 6 |- ( ( m = M /\ l = ( le ` m ) ) -> ( ( m e. Toset /\ A. a e. B A. b e. B A. c e. B ( a l b -> ( a .+ c ) l ( b .+ c ) ) ) <-> ( m e. Toset /\ A. a e. B A. b e. B A. c e. B ( a .<_ b -> ( a .+ c ) .<_ ( b .+ c ) ) ) ) )
45	32, 44	sbcied 3472	. . . . 5 |- ( m = M -> ( [. ( le ` m ) / l ]. ( m e. Toset /\ A. a e. B A. b e. B A. c e. B ( a l b -> ( a .+ c ) l ( b .+ c ) ) ) <-> ( m e. Toset /\ A. a e. B A. b e. B A. c e. B ( a .<_ b -> ( a .+ c ) .<_ ( b .+ c ) ) ) ) )
46		eleq1 2689	. . . . . 6 |- ( m = M -> ( m e. Toset <-> M e. Toset ) )
47	46	anbi1d 741	. . . . 5 |- ( m = M -> ( ( m e. Toset /\ A. a e. B A. b e. B A. c e. B ( a .<_ b -> ( a .+ c ) .<_ ( b .+ c ) ) ) <-> ( M e. Toset /\ A. a e. B A. b e. B A. c e. B ( a .<_ b -> ( a .+ c ) .<_ ( b .+ c ) ) ) ) )
48	45, 47	bitrd 268	. . . 4 |- ( m = M -> ( [. ( le ` m ) / l ]. ( m e. Toset /\ A. a e. B A. b e. B A. c e. B ( a l b -> ( a .+ c ) l ( b .+ c ) ) ) <-> ( M e. Toset /\ A. a e. B A. b e. B A. c e. B ( a .<_ b -> ( a .+ c ) .<_ ( b .+ c ) ) ) ) )
49	15, 31, 48	3bitrd 294	. . 3 |- ( m = M -> ( [. ( Base ` m ) / v ]. [. ( +g ` m ) / p ]. [. ( le ` m ) / l ]. ( m e. Toset /\ A. a e. v A. b e. v A. c e. v ( a l b -> ( a p c ) l ( b p c ) ) ) <-> ( M e. Toset /\ A. a e. B A. b e. B A. c e. B ( a .<_ b -> ( a .+ c ) .<_ ( b .+ c ) ) ) ) )
50		df-omnd 29699	. . 3 |- oMnd = { m e. Mnd | [. ( Base ` m ) / v ]. [. ( +g ` m ) / p ]. [. ( le ` m ) / l ]. ( m e. Toset /\ A. a e. v A. b e. v A. c e. v ( a l b -> ( a p c ) l ( b p c ) ) ) }
51	49, 50	elrab2 3366	. 2 |- ( M e. oMnd <-> ( M e. Mnd /\ ( M e. Toset /\ A. a e. B A. b e. B A. c e. B ( a .<_ b -> ( a .+ c ) .<_ ( b .+ c ) ) ) ) )
52		3anass 1042	. 2 |- ( ( M e. Mnd /\ M e. Toset /\ A. a e. B A. b e. B A. c e. B ( a .<_ b -> ( a .+ c ) .<_ ( b .+ c ) ) ) <-> ( M e. Mnd /\ ( M e. Toset /\ A. a e. B A. b e. B A. c e. B ( a .<_ b -> ( a .+ c ) .<_ ( b .+ c ) ) ) ) )
53	51, 52	bitr4i 267	1 |- ( M e. oMnd <-> ( M e. Mnd /\ M e. Toset /\ A. a e. B A. b e. B A. c e. B ( a .<_ b -> ( a .+ c ) .<_ ( b .+ c ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   [.wsbc 3435   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   lecple 15948  Tosetctos 17033   Mndcmnd 17294  oMndcomnd 29697

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-nul 4789

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-iota 5851  df-fv 5896  df-ov 6653  df-omnd 29699

This theorem is referenced by:  omndmnd  29704  omndtos  29705  omndadd  29706  submomnd  29710  xrge0omnd  29711  reofld  29840