isopos - Mathbox for Norm Megill

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Theorem isopos 34467

Description: The predicate "is an orthoposet." (Contributed by NM, 20-Oct-2011.) (Revised by NM, 14-Sep-2018.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
isopos.b
isopos.e
isopos.g
isopos.l
isopos.o
isopos.j	$.\/$
isopos.m	$./\$
isopos.f
isopos.u

**Assertion**
Ref	Expression
isopos	$/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $./\$

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

(

) $.\/$ (

)

(

) $./\$ (

)

(

)

Proof of Theorem isopos Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6191	. . . . . . 7
2		isopos.b	. . . . . . 7
3	1, 2	syl6eqr 2674	. . . . . 6
4		fveq2 6191	. . . . . . . 8
5		isopos.e	. . . . . . . 8
6	4, 5	syl6eqr 2674	. . . . . . 7
7	6	dmeqd 5326	. . . . . 6
8	3, 7	eleq12d 2695	. . . . 5
9		fveq2 6191	. . . . . . . 8
10		isopos.g	. . . . . . . 8
11	9, 10	syl6eqr 2674	. . . . . . 7
12	11	dmeqd 5326	. . . . . 6
13	3, 12	eleq12d 2695	. . . . 5
14	8, 13	anbi12d 747	. . . 4 $/\$ $/\$
15		fveq2 6191	. . . . . . . 8
16		isopos.o	. . . . . . . 8
17	15, 16	syl6eqr 2674	. . . . . . 7
18	17	eqeq2d 2632	. . . . . 6
19	3	eleq2d 2687	. . . . . . . . . 10
20		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13
21		isopos.l	. . . . . . . . . . . . 13
22	20, 21	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . 12
23	22	breqd 4664	. . . . . . . . . . 11
24	22	breqd 4664	. . . . . . . . . . 11
25	23, 24	imbi12d 334	. . . . . . . . . 10
26	19, 25	3anbi13d 1401	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
27		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12
28		isopos.j	. . . . . . . . . . . 12 $.\/$
29	27, 28	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . 11 $.\/$
30	29	oveqd 6667	. . . . . . . . . 10 $.\/$
31		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11
32		isopos.u	. . . . . . . . . . 11
33	31, 32	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . 10
34	30, 33	eqeq12d 2637	. . . . . . . . 9 $.\/$
35		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12
36		isopos.m	. . . . . . . . . . . 12 $./\$
37	35, 36	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . 11 $./\$
38	37	oveqd 6667	. . . . . . . . . 10 $./\$
39		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11
40		isopos.f	. . . . . . . . . . 11
41	39, 40	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . 10
42	38, 41	eqeq12d 2637	. . . . . . . . 9 $./\$
43	26, 34, 42	3anbi123d 1399	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $./\$
44	3, 43	raleqbidv 3152	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $./\$
45	3, 44	raleqbidv 3152	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $./\$
46	18, 45	anbi12d 747	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $./\$
47	46	exbidv 1850	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $./\$
48	14, 47	anbi12d 747	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $./\$
49		df-oposet 34463	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50	48, 49	elrab2 3366	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $./\$
51		anass 681	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $./\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $./\$
52		3anass 1042	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
53	52	bicomi 214	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
54		fvex 6201	. . . . 5
55	16, 54	eqeltri 2697	. . . 4
56		fveq1 6190	. . . . . . . 8
57	56	eleq1d 2686	. . . . . . 7
58		id 22	. . . . . . . . 9
59	58, 56	fveq12d 6197	. . . . . . . 8
60	59	eqeq1d 2624	. . . . . . 7
61		fveq1 6190	. . . . . . . . 9
62	61, 56	breq12d 4666	. . . . . . . 8
63	62	imbi2d 330	. . . . . . 7
64	57, 60, 63	3anbi123d 1399	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
65	56	oveq2d 6666	. . . . . . 7 $.\/$ $.\/$
66	65	eqeq1d 2624	. . . . . 6 $.\/$ $.\/$
67	56	oveq2d 6666	. . . . . . 7 $./\$ $./\$
68	67	eqeq1d 2624	. . . . . 6 $./\$ $./\$
69	64, 66, 68	3anbi123d 1399	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $./\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $./\$
70	69	2ralbidv 2989	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $./\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $./\$
71	55, 70	ceqsexv 3242	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $./\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $./\$
72	53, 71	anbi12i 733	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $./\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $./\$
73	50, 51, 72	3bitr2i 288	1 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $./\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wex 1704

wcel 1990

wral 2912

cvv 3200 class class class wbr 4653

cdm 5114

cfv 5888 (class class class)co 6650

cbs 15857

cple 15948

coc 15949

cpo 16940

club 16942

cglb 16943

cjn 16944

cmee 16945

cp0 17037

cp1 17038

cops 34459

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-nul 4789

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ral 2917 df-rex 2918 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-nul 3916 df-if 4087 df-sn 4178 df-pr 4180 df-op 4184 df-uni 4437 df-br 4654 df-dm 5124 df-iota 5851 df-fv 5896 df-ov 6653 df-oposet 34463

This theorem is referenced by: opposet 34468 oposlem 34469 op01dm 34470

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