Theorem ispautN 35385

Description: The predictate "is a projective automorphism." (Contributed by NM, 26-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pautset.s	|- S = ( PSubSp ` K )
pautset.m	|- M = ( PAut ` K )

Assertion

Ref	Expression
ispautN	|- ( K e. B -> ( F e. M <-> ( F : S -1-1-onto-> S /\ A. x e. S A. y e. S ( x C_ y <-> ( F ` x ) C_ ( F ` y ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, F   x, K   x, S, y

Allowed substitution hints:   B( x, y)   K( y)   M( x, y)

Proof of Theorem ispautN

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pautset.s	. . . 4 |- S = ( PSubSp ` K )
2		pautset.m	. . . 4 |- M = ( PAut ` K )
3	1, 2	pautsetN 35384	. . 3 |- ( K e. B -> M = { f | ( f : S -1-1-onto-> S /\ A. x e. S A. y e. S ( x C_ y <-> ( f ` x ) C_ ( f ` y ) ) ) } )
4	3	eleq2d 2687	. 2 |- ( K e. B -> ( F e. M <-> F e. { f | ( f : S -1-1-onto-> S /\ A. x e. S A. y e. S ( x C_ y <-> ( f ` x ) C_ ( f ` y ) ) ) } ) )
5		f1of 6137	. . . . 5 |- ( F : S -1-1-onto-> S -> F : S --> S )
6		fvex 6201	. . . . . 6 |- ( PSubSp ` K ) e. _V
7	1, 6	eqeltri 2697	. . . . 5 |- S e. _V
8		fex 6490	. . . . 5 |- ( ( F : S --> S /\ S e. _V ) -> F e. _V )
9	5, 7, 8	sylancl 694	. . . 4 |- ( F : S -1-1-onto-> S -> F e. _V )
10	9	adantr 481	. . 3 |- ( ( F : S -1-1-onto-> S /\ A. x e. S A. y e. S ( x C_ y <-> ( F ` x ) C_ ( F ` y ) ) ) -> F e. _V )
11		f1oeq1 6127	. . . 4 |- ( f = F -> ( f : S -1-1-onto-> S <-> F : S -1-1-onto-> S ) )
12		fveq1 6190	. . . . . . 7 |- ( f = F -> ( f ` x ) = ( F ` x ) )
13		fveq1 6190	. . . . . . 7 |- ( f = F -> ( f ` y ) = ( F ` y ) )
14	12, 13	sseq12d 3634	. . . . . 6 |- ( f = F -> ( ( f ` x ) C_ ( f ` y ) <-> ( F ` x ) C_ ( F ` y ) ) )
15	14	bibi2d 332	. . . . 5 |- ( f = F -> ( ( x C_ y <-> ( f ` x ) C_ ( f ` y ) ) <-> ( x C_ y <-> ( F ` x ) C_ ( F ` y ) ) ) )
16	15	2ralbidv 2989	. . . 4 |- ( f = F -> ( A. x e. S A. y e. S ( x C_ y <-> ( f ` x ) C_ ( f ` y ) ) <-> A. x e. S A. y e. S ( x C_ y <-> ( F ` x ) C_ ( F ` y ) ) ) )
17	11, 16	anbi12d 747	. . 3 |- ( f = F -> ( ( f : S -1-1-onto-> S /\ A. x e. S A. y e. S ( x C_ y <-> ( f ` x ) C_ ( f ` y ) ) ) <-> ( F : S -1-1-onto-> S /\ A. x e. S A. y e. S ( x C_ y <-> ( F ` x ) C_ ( F ` y ) ) ) ) )
18	10, 17	elab3 3358	. 2 |- ( F e. { f | ( f : S -1-1-onto-> S /\ A. x e. S A. y e. S ( x C_ y <-> ( f ` x ) C_ ( f ` y ) ) ) } <-> ( F : S -1-1-onto-> S /\ A. x e. S A. y e. S ( x C_ y <-> ( F ` x ) C_ ( F ` y ) ) ) )
19	4, 18	syl6bb 276	1 |- ( K e. B -> ( F e. M <-> ( F : S -1-1-onto-> S /\ A. x e. S A. y e. S ( x C_ y <-> ( F ` x ) C_ ( F ` y ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888   PSubSpcpsubsp 34782   PAutcpautN 35273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-pautN 35277

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